Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107530 / 42268
↖ ↑ ↗
← N 53.703210°
E115.339966°		 ← 180.80 m → N 53.703210°
E115.342712°		 →
↑
180.75 m
↓
↑
180.75 m
↓
N 53.701585°
E115.339966°		 ← 180.81 m →
32 680 m²		 N 53.701585°
E115.342712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820392608642578 y=0.322483062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820392608642578 × 217)
    floor (0.820392608642578 × 131072)
    floor (107530.5)     		tx = 107530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322483062744141 × 217)
    floor (0.322483062744141 × 131072)
    floor (42268.5)     		ty = 42268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107530 / 42268 ti = "17/107530/42268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107530/42268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107530 ÷ 217
    107530 ÷ 131072     		x = 0.820388793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42268 ÷ 217
    42268 ÷ 131072     		y = 0.322479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820388793945312 × 2 - 1) × π
    0.640777587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01306216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322479248046875 × 2 - 1) × π
    0.35504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11539578035947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01306216} λ = 2.01306216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11539578035947))-π/2
    2×atan(3.05077537724974)-π/2
    2×1.25404708473198-π/2
    2.50809416946397-1.57079632675     		φ = 0.93729784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01306216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.339966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93729784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.703210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107530 KachelY 42268 2.01306216 0.93729784 115.339966 53.703210
    Oben rechts KachelX + 1 107531 KachelY 42268 2.01311010 0.93729784 115.342712 53.703210
    Unten links KachelX 107530 KachelY + 1 42269 2.01306216 0.93726947 115.339966 53.701585
    Unten rechts KachelX + 1 107531 KachelY + 1 42269 2.01311010 0.93726947 115.342712 53.701585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93729784-0.93726947) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dl = 180.745269999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93729784-0.93726947) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dr = 180.745269999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01306216-2.01311010) × cos(0.93729784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591968020355072 × 6371000     		do = 180.802270673164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01306216-2.01311010) × cos(0.93726947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591990885243251 × 6371000     		du = 180.809254198556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93729784)-sin(0.93726947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591968020355072-0.591990885243251)×R²
    abs(2.01311010-2.01306216)×2.28648881789306e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28648881789306e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28648881789306e-05×40589641000000     		ar = 32679.7863511996m²