Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107528 / 42296
↖ ↑ ↗
← N 53.657661°
E115.334473°		 ← 181 m → N 53.657661°
E115.337219°		 →
↑
180.94 m
↓
↑
180.94 m
↓
N 53.656034°
E115.334473°		 ← 181 m →
32 750 m²		 N 53.656034°
E115.337219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820377349853516 y=0.322696685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820377349853516 × 217)
    floor (0.820377349853516 × 131072)
    floor (107528.5)     		tx = 107528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322696685791016 × 217)
    floor (0.322696685791016 × 131072)
    floor (42296.5)     		ty = 42296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107528 / 42296 ti = "17/107528/42296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107528/42296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107528 ÷ 217
    107528 ÷ 131072     		x = 0.82037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42296 ÷ 217
    42296 ÷ 131072     		y = 0.32269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82037353515625 × 2 - 1) × π
    0.6407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01296629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32269287109375 × 2 - 1) × π
    0.3546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1140535471701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01296629} λ = 2.01296629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1140535471701))-π/2
    2×atan(3.04668327217909)-π/2
    2×1.25364959024962-π/2
    2.50729918049925-1.57079632675     		φ = 0.93650285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01296629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93650285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.657661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107528 KachelY 42296 2.01296629 0.93650285 115.334473 53.657661
    Oben rechts KachelX + 1 107529 KachelY 42296 2.01301423 0.93650285 115.337219 53.657661
    Unten links KachelX 107528 KachelY + 1 42297 2.01296629 0.93647445 115.334473 53.656034
    Unten rechts KachelX + 1 107529 KachelY + 1 42297 2.01301423 0.93647445 115.337219 53.656034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93650285-0.93647445) × R
    2.84000000000395e-05 × 6371000     		dl = 180.936400000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93650285-0.93647445) × R
    2.84000000000395e-05 × 6371000     		dr = 180.936400000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01296629-2.01301423) × cos(0.93650285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592608564518106 × 6371000     		do = 180.997909348162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01296629-2.01301423) × cos(0.93647445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592631440211849 × 6371000     		du = 181.004896173851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93650285)-sin(0.93647445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592608564518106-0.592631440211849)×R²
    abs(2.01301423-2.01296629)×2.28756937424857e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28756937424857e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28756937424857e-05×40589641000000     		ar = 32749.7422125662m²