Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107528 / 42271
↖ ↑ ↗
← N 53.698333°
E115.334473°		 ← 180.82 m → N 53.698333°
E115.337219°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
N 53.696707°
E115.334473°		 ← 180.83 m →
32 695 m²		 N 53.696707°
E115.337219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820377349853516 y=0.322505950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820377349853516 × 217)
    floor (0.820377349853516 × 131072)
    floor (107528.5)     		tx = 107528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322505950927734 × 217)
    floor (0.322505950927734 × 131072)
    floor (42271.5)     		ty = 42271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107528 / 42271 ti = "17/107528/42271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107528/42271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107528 ÷ 217
    107528 ÷ 131072     		x = 0.82037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42271 ÷ 217
    42271 ÷ 131072     		y = 0.322502136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82037353515625 × 2 - 1) × π
    0.6407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01296629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322502136230469 × 2 - 1) × π
    0.354995727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.11525196966061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01296629} λ = 2.01296629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11525196966061))-π/2
    2×atan(3.05033667465649)-π/2
    2×1.25400451659793-π/2
    2.50800903319587-1.57079632675     		φ = 0.93721271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01296629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93721271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.698333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107528 KachelY 42271 2.01296629 0.93721271 115.334473 53.698333
    Oben rechts KachelX + 1 107529 KachelY 42271 2.01301423 0.93721271 115.337219 53.698333
    Unten links KachelX 107528 KachelY + 1 42272 2.01296629 0.93718433 115.334473 53.696707
    Unten rechts KachelX + 1 107529 KachelY + 1 42272 2.01301423 0.93718433 115.337219 53.696707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93721271-0.93718433) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dl = 180.808979999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93721271-0.93718433) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dr = 180.808979999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01296629-2.01301423) × cos(0.93721271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592036629708407 × 6371000     		do = 180.823225735678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01296629-2.01301423) × cos(0.93718433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592059501225734 × 6371000     		du = 180.830211285782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93721271)-sin(0.93718433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592036629708407-0.592059501225734)×R²
    abs(2.01301423-2.01296629)×2.28715173263838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28715173263838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28715173263838e-05×40589641000000     		ar = 32695.094532828m²