Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107528 / 41897
↖ ↑ ↗
← N 54.302102°
E115.334473°		 ← 178.22 m → N 54.302102°
E115.337219°		 →
↑
178.20 m
↓
↑
178.20 m
↓
N 54.300499°
E115.334473°		 ← 178.23 m →
31 759 m²		 N 54.300499°
E115.337219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820377349853516 y=0.319652557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820377349853516 × 217)
    floor (0.820377349853516 × 131072)
    floor (107528.5)     		tx = 107528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319652557373047 × 217)
    floor (0.319652557373047 × 131072)
    floor (41897.5)     		ty = 41897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107528 / 41897 ti = "17/107528/41897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107528/41897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107528 ÷ 217
    107528 ÷ 131072     		x = 0.82037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41897 ÷ 217
    41897 ÷ 131072     		y = 0.319648742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82037353515625 × 2 - 1) × π
    0.6407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01296629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319648742675781 × 2 - 1) × π
    0.360702514648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.13318037011851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01296629} λ = 2.01296629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13318037011851))-π/2
    2×atan(3.10551750606739)-π/2
    2×1.25927339704907-π/2
    2.51854679409813-1.57079632675     		φ = 0.94775047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01296629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94775047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.302102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107528 KachelY 41897 2.01296629 0.94775047 115.334473 54.302102
    Oben rechts KachelX + 1 107529 KachelY 41897 2.01301423 0.94775047 115.337219 54.302102
    Unten links KachelX 107528 KachelY + 1 41898 2.01296629 0.94772250 115.334473 54.300499
    Unten rechts KachelX + 1 107529 KachelY + 1 41898 2.01301423 0.94772250 115.337219 54.300499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94775047-0.94772250) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dl = 178.196869999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94775047-0.94772250) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dr = 178.196869999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01296629-2.01301423) × cos(0.94775047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583511418731488 × 6371000     		do = 178.219406864398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01296629-2.01301423) × cos(0.94772250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583534133078249 × 6371000     		du = 178.226344410566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94775047)-sin(0.94772250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583511418731488-0.583534133078249)×R²
    abs(2.01301423-2.01296629)×2.27143467609325e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27143467609325e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27143467609325e-05×40589641000000     		ar = 31758.7586032097m²