Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107527 / 42391
↖ ↑ ↗
← N 53.502751°
E115.331726°		 ← 181.66 m → N 53.502751°
E115.334473°		 →
↑
181.64 m
↓
↑
181.64 m
↓
N 53.501117°
E115.331726°		 ← 181.67 m →
32 997 m²		 N 53.501117°
E115.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820369720458984 y=0.323421478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820369720458984 × 217)
    floor (0.820369720458984 × 131072)
    floor (107527.5)     		tx = 107527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323421478271484 × 217)
    floor (0.323421478271484 × 131072)
    floor (42391.5)     		ty = 42391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107527 / 42391 ti = "17/107527/42391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107527/42391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107527 ÷ 217
    107527 ÷ 131072     		x = 0.820365905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42391 ÷ 217
    42391 ÷ 131072     		y = 0.323417663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820365905761719 × 2 - 1) × π
    0.640731811523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.01291835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323417663574219 × 2 - 1) × π
    0.353164672851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.1094995417062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01291835} λ = 2.01291835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1094995417062))-π/2
    2×atan(3.03284020453787)-π/2
    2×1.25229774266491-π/2
    2.50459548532982-1.57079632675     		φ = 0.93379916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01291835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.331726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93379916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.502751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107527 KachelY 42391 2.01291835 0.93379916 115.331726 53.502751
    Oben rechts KachelX + 1 107528 KachelY 42391 2.01296629 0.93379916 115.334473 53.502751
    Unten links KachelX 107527 KachelY + 1 42392 2.01291835 0.93377065 115.331726 53.501117
    Unten rechts KachelX + 1 107528 KachelY + 1 42392 2.01296629 0.93377065 115.334473 53.501117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93379916-0.93377065) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dl = 181.637209999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93379916-0.93377065) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dr = 181.637209999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01291835-2.01296629) × cos(0.93379916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594784192750818 × 6371000     		do = 181.662402211102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01291835-2.01296629) × cos(0.93377065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594807111282335 × 6371000     		du = 181.66940212055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93379916)-sin(0.93377065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594784192750818-0.594807111282335)×R²
    abs(2.01296629-2.01291835)×2.29185315161473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29185315161473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29185315161473e-05×40589641000000     		ar = 32997.2876236525m²