Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107524 / 42462
↖ ↑ ↗
← N 53.386605°
E115.323486°		 ← 182.16 m → N 53.386605°
E115.326233°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
N 53.384967°
E115.323486°		 ← 182.17 m →
33 180 m²		 N 53.384967°
E115.326233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820346832275391 y=0.323963165283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820346832275391 × 217)
    floor (0.820346832275391 × 131072)
    floor (107524.5)     		tx = 107524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323963165283203 × 217)
    floor (0.323963165283203 × 131072)
    floor (42462.5)     		ty = 42462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107524 / 42462 ti = "17/107524/42462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107524/42462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107524 ÷ 217
    107524 ÷ 131072     		x = 0.820343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42462 ÷ 217
    42462 ÷ 131072     		y = 0.323959350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820343017578125 × 2 - 1) × π
    0.64068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01277454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323959350585938 × 2 - 1) × π
    0.352081298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10609602183318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01277454} λ = 2.01277454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10609602183318))-π/2
    2×atan(3.02253541884896)-π/2
    2×1.25128417750043-π/2
    2.50256835500086-1.57079632675     		φ = 0.93177203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01277454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.323486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93177203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.386605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107524 KachelY 42462 2.01277454 0.93177203 115.323486 53.386605
    Oben rechts KachelX + 1 107525 KachelY 42462 2.01282248 0.93177203 115.326233 53.386605
    Unten links KachelX 107524 KachelY + 1 42463 2.01277454 0.93174344 115.323486 53.384967
    Unten rechts KachelX + 1 107525 KachelY + 1 42463 2.01282248 0.93174344 115.326233 53.384967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93177203-0.93174344) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93177203-0.93174344) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01277454-2.01282248) × cos(0.93177203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596412549820762 × 6371000     		do = 182.159744374174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01277454-2.01282248) × cos(0.93174344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596435498142787 × 6371000     		du = 182.16675338241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93177203)-sin(0.93174344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596412549820762-0.596435498142787)×R²
    abs(2.01282248-2.01277454)×2.29483220248738e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29483220248738e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29483220248738e-05×40589641000000     		ar = 33180.4692577972m²