Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107521 / 39937
↖ ↑ ↗
← N 57.325038°
E115.315247°		 ← 164.89 m → N 57.325038°
E115.317993°		 →
↑
164.88 m
↓
↑
164.88 m
↓
N 57.323555°
E115.315247°		 ← 164.90 m →
27 188 m²		 N 57.323555°
E115.317993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820323944091797 y=0.304698944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820323944091797 × 217)
    floor (0.820323944091797 × 131072)
    floor (107521.5)     		tx = 107521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304698944091797 × 217)
    floor (0.304698944091797 × 131072)
    floor (39937.5)     		ty = 39937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107521 / 39937 ti = "17/107521/39937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107521/39937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107521 ÷ 217
    107521 ÷ 131072     		x = 0.820320129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39937 ÷ 217
    39937 ÷ 131072     		y = 0.304695129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820320129394531 × 2 - 1) × π
    0.640640258789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.01263073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304695129394531 × 2 - 1) × π
    0.390609741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.22713669337382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01263073} λ = 2.01263073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22713669337382))-π/2
    2×atan(3.41144751823046)-π/2
    2×1.28565349578873-π/2
    2.57130699157746-1.57079632675     		φ = 1.00051066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01263073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.315247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00051066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.325038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107521 KachelY 39937 2.01263073 1.00051066 115.315247 57.325038
    Oben rechts KachelX + 1 107522 KachelY 39937 2.01267867 1.00051066 115.317993 57.325038
    Unten links KachelX 107521 KachelY + 1 39938 2.01263073 1.00048478 115.315247 57.323555
    Unten rechts KachelX + 1 107522 KachelY + 1 39938 2.01267867 1.00048478 115.317993 57.323555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00051066-1.00048478) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dl = 164.881479999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00051066-1.00048478) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dr = 164.881479999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01263073-2.01267867) × cos(1.00051066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.539872529865417 × 6371000     		do = 164.890966939709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01263073-2.01267867) × cos(1.00048478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.539894314091436 × 6371000     		du = 164.897620403061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00051066)-sin(1.00048478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539872529865417-0.539894314091436)×R²
    abs(2.01267867-2.01263073)×2.17842260190615e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17842260190615e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17842260190615e-05×40589641000000     		ar = 27188.0151856831m²