Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107520 / 42304
↖ ↑ ↗
← N 53.644638°
E115.312500°		 ← 181.05 m → N 53.644638°
E115.315247°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
N 53.643010°
E115.312500°		 ← 181.06 m →
32 783 m²		 N 53.643010°
E115.315247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820316314697266 y=0.322757720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820316314697266 × 217)
    floor (0.820316314697266 × 131072)
    floor (107520.5)     		tx = 107520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322757720947266 × 217)
    floor (0.322757720947266 × 131072)
    floor (42304.5)     		ty = 42304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107520 / 42304 ti = "17/107520/42304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107520/42304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107520 ÷ 217
    107520 ÷ 131072     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42304 ÷ 217
    42304 ÷ 131072     		y = 0.32275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32275390625 × 2 - 1) × π
    0.3544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11367005197314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11367005197314))-π/2
    2×atan(3.04551510778458)-π/2
    2×1.25353594142983-π/2
    2.50707188285966-1.57079632675     		φ = 0.93627556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93627556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.644638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107520 KachelY 42304 2.01258279 0.93627556 115.312500 53.644638
    Oben rechts KachelX + 1 107521 KachelY 42304 2.01263073 0.93627556 115.315247 53.644638
    Unten links KachelX 107520 KachelY + 1 42305 2.01258279 0.93624714 115.312500 53.643010
    Unten rechts KachelX + 1 107521 KachelY + 1 42305 2.01263073 0.93624714 115.315247 53.643010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93627556-0.93624714) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93627556-0.93624714) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01263073) × cos(0.93627556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592791629165245 × 6371000     		do = 181.053822003482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01263073) × cos(0.93624714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592814517139794 × 6371000     		du = 181.060812580046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93627556)-sin(0.93624714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592791629165245-0.592814517139794)×R²
    abs(2.01263073-2.01258279)×2.28879745488575e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28879745488575e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28879745488575e-05×40589641000000     		ar = 32782.9295101172m²