Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107519 / 42015
↖ ↑ ↗
← N 54.112553°
E115.309754°		 ← 179 m → N 54.112553°
E115.312500°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
N 54.110943°
E115.309754°		 ← 179.01 m →
32 046 m²		 N 54.110943°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820308685302734 y=0.320552825927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820308685302734 × 217)
    floor (0.820308685302734 × 131072)
    floor (107519.5)     		tx = 107519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320552825927734 × 217)
    floor (0.320552825927734 × 131072)
    floor (42015.5)     		ty = 42015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107519 / 42015 ti = "17/107519/42015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107519/42015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107519 ÷ 217
    107519 ÷ 131072     		x = 0.820304870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42015 ÷ 217
    42015 ÷ 131072     		y = 0.320549011230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820304870605469 × 2 - 1) × π
    0.640609741210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.01253486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320549011230469 × 2 - 1) × π
    0.358901977539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.12752381596334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01253486} λ = 2.01253486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12752381596334))-π/2
    2×atan(3.08800056757696)-π/2
    2×1.25761927169781-π/2
    2.51523854339563-1.57079632675     		φ = 0.94444222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01253486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.309754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94444222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.112553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107519 KachelY 42015 2.01253486 0.94444222 115.309754 54.112553
    Oben rechts KachelX + 1 107520 KachelY 42015 2.01258279 0.94444222 115.312500 54.112553
    Unten links KachelX 107519 KachelY + 1 42016 2.01253486 0.94441412 115.309754 54.110943
    Unten rechts KachelX + 1 107520 KachelY + 1 42016 2.01258279 0.94441412 115.312500 54.110943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94444222-0.94441412) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dl = 179.025099999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94444222-0.94441412) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dr = 179.025099999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01253486-2.01258279) × cos(0.94444222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.586194866856782 × 6371000     		do = 179.001654519076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01253486-2.01258279) × cos(0.94441412) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.586217632404934 × 6371000     		du = 179.008606253074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94444222)-sin(0.94441412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586194866856782-0.586217632404934)×R²
    abs(2.01258279-2.01253486)×2.27655481512823e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27655481512823e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27655481512823e-05×40589641000000     		ar = 32046.4113698525m²