Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107518 / 42570
↖ ↑ ↗
← N 53.209322°
E115.307007°		 ← 182.92 m → N 53.209322°
E115.309754°		 →
↑
182.91 m
↓
↑
182.91 m
↓
N 53.207678°
E115.307007°		 ← 182.92 m →
33 458 m²		 N 53.207678°
E115.309754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820301055908203 y=0.324787139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820301055908203 × 217)
    floor (0.820301055908203 × 131072)
    floor (107518.5)     		tx = 107518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324787139892578 × 217)
    floor (0.324787139892578 × 131072)
    floor (42570.5)     		ty = 42570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107518 / 42570 ti = "17/107518/42570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107518/42570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107518 ÷ 217
    107518 ÷ 131072     		x = 0.820297241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42570 ÷ 217
    42570 ÷ 131072     		y = 0.324783325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820297241210938 × 2 - 1) × π
    0.640594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01248692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324783325195312 × 2 - 1) × π
    0.350433349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10091883667421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01248692} λ = 2.01248692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10091883667421))-π/2
    2×atan(3.006927630403)-π/2
    2×1.24973709855256-π/2
    2.49947419710513-1.57079632675     		φ = 0.92867787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01248692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.307007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92867787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.209322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107518 KachelY 42570 2.01248692 0.92867787 115.307007 53.209322
    Oben rechts KachelX + 1 107519 KachelY 42570 2.01253486 0.92867787 115.309754 53.209322
    Unten links KachelX 107518 KachelY + 1 42571 2.01248692 0.92864916 115.307007 53.207678
    Unten rechts KachelX + 1 107519 KachelY + 1 42571 2.01253486 0.92864916 115.309754 53.207678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92867787-0.92864916) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dl = 182.911410000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92867787-0.92864916) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dr = 182.911410000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01248692-2.01253486) × cos(0.92867787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59889330523585 × 6371000     		do = 182.917430932585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01248692-2.01253486) × cos(0.92864916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598916296784625 × 6371000     		du = 182.924453143384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92867787)-sin(0.92864916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59889330523585-0.598916296784625)×R²
    abs(2.01253486-2.01248692)×2.29915487752752e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29915487752752e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29915487752752e-05×40589641000000     		ar = 33458.3274291019m²