Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107517 / 42300
↖ ↑ ↗
← N 53.651150°
E115.304260°		 ← 181.03 m → N 53.651150°
E115.307007°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
N 53.649522°
E115.304260°		 ← 181.03 m →
32 766 m²		 N 53.649522°
E115.307007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820293426513672 y=0.322727203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820293426513672 × 217)
    floor (0.820293426513672 × 131072)
    floor (107517.5)     		tx = 107517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322727203369141 × 217)
    floor (0.322727203369141 × 131072)
    floor (42300.5)     		ty = 42300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107517 / 42300 ti = "17/107517/42300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107517/42300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107517 ÷ 217
    107517 ÷ 131072     		x = 0.820289611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42300 ÷ 217
    42300 ÷ 131072     		y = 0.322723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820289611816406 × 2 - 1) × π
    0.640579223632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.01243898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322723388671875 × 2 - 1) × π
    0.35455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11386179957162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01243898} λ = 2.01243898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11386179957162))-π/2
    2×atan(3.04609913398366)-π/2
    2×1.25359277022765-π/2
    2.5071855404553-1.57079632675     		φ = 0.93638921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01243898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.304260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93638921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.651150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107517 KachelY 42300 2.01243898 0.93638921 115.304260 53.651150
    Oben rechts KachelX + 1 107518 KachelY 42300 2.01248692 0.93638921 115.307007 53.651150
    Unten links KachelX 107517 KachelY + 1 42301 2.01243898 0.93636080 115.304260 53.649522
    Unten rechts KachelX + 1 107518 KachelY + 1 42301 2.01248692 0.93636080 115.307007 53.649522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93638921-0.93636080) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dl = 181.000109999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93638921-0.93636080) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dr = 181.000109999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01243898-2.01248692) × cos(0.93638921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592700096641975 × 6371000     		do = 181.025865614828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01243898-2.01248692) × cos(0.93636080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592722978477027 × 6371000     		du = 181.032854316231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93638921)-sin(0.93636080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592700096641975-0.592722978477027)×R²
    abs(2.01248692-2.01243898)×2.28818350512805e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28818350512805e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28818350512805e-05×40589641000000     		ar = 32766.334069226m²