Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107516 / 42298
↖ ↑ ↗
← N 53.654406°
E115.301514°		 ← 180.97 m → N 53.654406°
E115.304260°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
N 53.652778°
E115.301514°		 ← 180.98 m →
32 757 m²		 N 53.652778°
E115.304260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820285797119141 y=0.322711944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820285797119141 × 217)
    floor (0.820285797119141 × 131072)
    floor (107516.5)     		tx = 107516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322711944580078 × 217)
    floor (0.322711944580078 × 131072)
    floor (42298.5)     		ty = 42298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107516 / 42298 ti = "17/107516/42298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107516/42298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107516 ÷ 217
    107516 ÷ 131072     		x = 0.820281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42298 ÷ 217
    42298 ÷ 131072     		y = 0.322708129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820281982421875 × 2 - 1) × π
    0.64056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01239105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322708129882812 × 2 - 1) × π
    0.354583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11395767337086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01239105} λ = 2.01239105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11395767337086))-π/2
    2×atan(3.04639118908049)-π/2
    2×1.25362118133558-π/2
    2.50724236267116-1.57079632675     		φ = 0.93644604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01239105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.301514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93644604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.654406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107516 KachelY 42298 2.01239105 0.93644604 115.301514 53.654406
    Oben rechts KachelX + 1 107517 KachelY 42298 2.01243898 0.93644604 115.304260 53.654406
    Unten links KachelX 107516 KachelY + 1 42299 2.01239105 0.93641763 115.301514 53.652778
    Unten rechts KachelX + 1 107517 KachelY + 1 42299 2.01243898 0.93641763 115.304260 53.652778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93644604-0.93641763) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dl = 181.000109999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93644604-0.93641763) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dr = 181.000109999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01239105-2.01243898) × cos(0.93644604) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592654323482168 × 6371000     		do = 180.974127306902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01239105-2.01243898) × cos(0.93641763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592677206274138 × 6371000     		du = 180.98111484271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93644604)-sin(0.93641763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592654323482168-0.592677206274138)×R²
    abs(2.01243898-2.01239105)×2.28827919709351e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28827919709351e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28827919709351e-05×40589641000000     		ar = 32756.9693242741m²