Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107515 / 42299
↖ ↑ ↗
← N 53.652778°
E115.298767°		 ← 181.02 m → N 53.652778°
E115.301514°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
N 53.651150°
E115.298767°		 ← 181.03 m →
32 777 m²		 N 53.651150°
E115.301514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820278167724609 y=0.322719573974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820278167724609 × 217)
    floor (0.820278167724609 × 131072)
    floor (107515.5)     		tx = 107515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322719573974609 × 217)
    floor (0.322719573974609 × 131072)
    floor (42299.5)     		ty = 42299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107515 / 42299 ti = "17/107515/42299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107515/42299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107515 ÷ 217
    107515 ÷ 131072     		x = 0.820274353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42299 ÷ 217
    42299 ÷ 131072     		y = 0.322715759277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820274353027344 × 2 - 1) × π
    0.640548706054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.01234311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322715759277344 × 2 - 1) × π
    0.354568481445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.11390973647124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01234311} λ = 2.01234311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11390973647124))-π/2
    2×atan(3.04624515803202)-π/2
    2×1.25360697605586-π/2
    2.50721395211171-1.57079632675     		φ = 0.93641763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01234311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.298767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93641763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.652778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107515 KachelY 42299 2.01234311 0.93641763 115.298767 53.652778
    Oben rechts KachelX + 1 107516 KachelY 42299 2.01239105 0.93641763 115.301514 53.652778
    Unten links KachelX 107515 KachelY + 1 42300 2.01234311 0.93638921 115.298767 53.651150
    Unten rechts KachelX + 1 107516 KachelY + 1 42300 2.01239105 0.93638921 115.301514 53.651150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93641763-0.93638921) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93641763-0.93638921) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01234311-2.01239105) × cos(0.93641763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592677206274138 × 6371000     		do = 181.018874307293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01234311-2.01239105) × cos(0.93638921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592700096641975 × 6371000     		du = 181.025865614828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93641763)-sin(0.93638921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592677206274138-0.592700096641975)×R²
    abs(2.01239105-2.01234311)×2.28903678369807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28903678369807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28903678369807e-05×40589641000000     		ar = 32776.6018127076m²