Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107514 / 48114
↖ ↑ ↗
← N 43.096972°
E115.296020°		 ← 223.02 m → N 43.096972°
E115.298767°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
N 43.094966°
E115.296020°		 ← 223.03 m →
49 745 m²		 N 43.094966°
E115.298767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820270538330078 y=0.367084503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820270538330078 × 217)
    floor (0.820270538330078 × 131072)
    floor (107514.5)     		tx = 107514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367084503173828 × 217)
    floor (0.367084503173828 × 131072)
    floor (48114.5)     		ty = 48114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107514 / 48114 ti = "17/107514/48114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107514/48114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107514 ÷ 217
    107514 ÷ 131072     		x = 0.820266723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48114 ÷ 217
    48114 ÷ 131072     		y = 0.367080688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820266723632812 × 2 - 1) × π
    0.640533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01229517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367080688476562 × 2 - 1) × π
    0.265838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.835156665180618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01229517} λ = 2.01229517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835156665180618))-π/2
    2×atan(2.30517516068231)-π/2
    2×1.161490192106-π/2
    2.322980384212-1.57079632675     		φ = 0.75218406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01229517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.296020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75218406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.096972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107514 KachelY 48114 2.01229517 0.75218406 115.296020 43.096972
    Oben rechts KachelX + 1 107515 KachelY 48114 2.01234311 0.75218406 115.298767 43.096972
    Unten links KachelX 107514 KachelY + 1 48115 2.01229517 0.75214905 115.296020 43.094966
    Unten rechts KachelX + 1 107515 KachelY + 1 48115 2.01234311 0.75214905 115.298767 43.094966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75218406-0.75214905) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dl = 223.048710000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75218406-0.75214905) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dr = 223.048710000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01229517-2.01234311) × cos(0.75218406) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.730198384986723 × 6371000     		do = 223.021382083294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01229517-2.01234311) × cos(0.75214905) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.730222304603056 × 6371000     		du = 223.028687749814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75218406)-sin(0.75214905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730198384986723-0.730222304603056)×R²
    abs(2.01234311-2.01229517)×2.39196163337452e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.39196163337452e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.39196163337452e-05×40589641000000     		ar = 49745.4463409929m²