Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107513 / 42020
↖ ↑ ↗
← N 54.104502°
E115.293274°		 ← 179.04 m → N 54.104502°
E115.296020°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
N 54.102891°
E115.293274°		 ← 179.04 m →
32 064 m²		 N 54.102891°
E115.296020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820262908935547 y=0.320590972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820262908935547 × 217)
    floor (0.820262908935547 × 131072)
    floor (107513.5)     		tx = 107513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320590972900391 × 217)
    floor (0.320590972900391 × 131072)
    floor (42020.5)     		ty = 42020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107513 / 42020 ti = "17/107513/42020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107513/42020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107513 ÷ 217
    107513 ÷ 131072     		x = 0.820259094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42020 ÷ 217
    42020 ÷ 131072     		y = 0.320587158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820259094238281 × 2 - 1) × π
    0.640518188476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.01224724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320587158203125 × 2 - 1) × π
    0.35882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12728413146524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01224724} λ = 2.01224724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12728413146524))-π/2
    2×atan(3.08726051040444)-π/2
    2×1.2575490139652-π/2
    2.51509802793041-1.57079632675     		φ = 0.94430170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01224724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.293274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94430170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.104502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107513 KachelY 42020 2.01224724 0.94430170 115.293274 54.104502
    Oben rechts KachelX + 1 107514 KachelY 42020 2.01229517 0.94430170 115.296020 54.104502
    Unten links KachelX 107513 KachelY + 1 42021 2.01224724 0.94427359 115.293274 54.102891
    Unten rechts KachelX + 1 107514 KachelY + 1 42021 2.01229517 0.94427359 115.296020 54.102891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94430170-0.94427359) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dl = 179.088810000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94430170-0.94427359) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dr = 179.088810000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01224724-2.01229517) × cos(0.94430170) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.58630870617028 × 6371000     		do = 179.036416721281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01224724-2.01229517) × cos(0.94427359) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.586331477504218 × 6371000     		du = 179.043370222038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94430170)-sin(0.94427359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58630870617028-0.586331477504218)×R²
    abs(2.01229517-2.01224724)×2.27713339377988e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.27713339377988e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.27713339377988e-05×40589641000000     		ar = 32064.0414665309m²