Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107512 / 42313
↖ ↑ ↗
← N 53.629982°
E115.290527°		 ← 181.12 m → N 53.629982°
E115.293274°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
N 53.628353°
E115.290527°		 ← 181.12 m →
32 794 m²		 N 53.628353°
E115.293274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820255279541016 y=0.322826385498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820255279541016 × 217)
    floor (0.820255279541016 × 131072)
    floor (107512.5)     		tx = 107512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322826385498047 × 217)
    floor (0.322826385498047 × 131072)
    floor (42313.5)     		ty = 42313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107512 / 42313 ti = "17/107512/42313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107512/42313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107512 ÷ 217
    107512 ÷ 131072     		x = 0.82025146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42313 ÷ 217
    42313 ÷ 131072     		y = 0.322822570800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82025146484375 × 2 - 1) × π
    0.6405029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01219930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322822570800781 × 2 - 1) × π
    0.354354858398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.11323861987656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01219930} λ = 2.01219930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11323861987656))-π/2
    2×atan(3.04420145821213)-π/2
    2×1.25340804454483-π/2
    2.50681608908966-1.57079632675     		φ = 0.93601976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01219930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93601976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.629982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107512 KachelY 42313 2.01219930 0.93601976 115.290527 53.629982
    Oben rechts KachelX + 1 107513 KachelY 42313 2.01224724 0.93601976 115.293274 53.629982
    Unten links KachelX 107512 KachelY + 1 42314 2.01219930 0.93599134 115.290527 53.628353
    Unten rechts KachelX + 1 107513 KachelY + 1 42314 2.01224724 0.93599134 115.293274 53.628353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93601976-0.93599134) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93601976-0.93599134) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01219930-2.01224724) × cos(0.93601976) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.592997619801407 × 6371000     		do = 181.116736847642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01219930-2.01224724) × cos(0.93599134) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.593020503465626 × 6371000     		du = 181.12372610772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93601976)-sin(0.93599134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592997619801407-0.593020503465626)×R²
    abs(2.01224724-2.01219930)×2.28836642189867e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.28836642189867e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.28836642189867e-05×40589641000000     		ar = 32794.3209930611m²