Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107510 / 48117
↖ ↑ ↗
← N 43.090955°
E115.285034°		 ← 223.04 m → N 43.090955°
E115.287781°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
N 43.088949°
E115.285034°		 ← 223.05 m →
49 750 m²		 N 43.088949°
E115.287781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820240020751953 y=0.367107391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820240020751953 × 217)
    floor (0.820240020751953 × 131072)
    floor (107510.5)     		tx = 107510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367107391357422 × 217)
    floor (0.367107391357422 × 131072)
    floor (48117.5)     		ty = 48117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107510 / 48117 ti = "17/107510/48117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107510/48117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107510 ÷ 217
    107510 ÷ 131072     		x = 0.820236206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48117 ÷ 217
    48117 ÷ 131072     		y = 0.367103576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820236206054688 × 2 - 1) × π
    0.640472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01210342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367103576660156 × 2 - 1) × π
    0.265792846679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.835012854481758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01210342} λ = 2.01210342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835012854481758))-π/2
    2×atan(2.30484367566757)-π/2
    2×1.16143768435637-π/2
    2.32287536871274-1.57079632675     		φ = 0.75207904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01210342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.285034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75207904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.090955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107510 KachelY 48117 2.01210342 0.75207904 115.285034 43.090955
    Oben rechts KachelX + 1 107511 KachelY 48117 2.01215136 0.75207904 115.287781 43.090955
    Unten links KachelX 107510 KachelY + 1 48118 2.01210342 0.75204403 115.285034 43.088949
    Unten rechts KachelX + 1 107511 KachelY + 1 48118 2.01215136 0.75204403 115.287781 43.088949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75207904-0.75204403) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dl = 223.048710000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75207904-0.75204403) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dr = 223.048710000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01210342-2.01215136) × cos(0.75207904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730270134319009 × 6371000     		do = 223.043296174136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01210342-2.01215136) × cos(0.75204403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73029405125041 × 6371000     		du = 223.050601020608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75207904)-sin(0.75204403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730270134319009-0.73029405125041)×R²
    abs(2.01215136-2.01210342)×2.39169314008025e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39169314008025e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39169314008025e-05×40589641000000     		ar = 49750.3341592524m²