Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107510 / 41908
↖ ↑ ↗
← N 54.284469°
E115.285034°		 ← 178.30 m → N 54.284469°
E115.287781°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
N 54.282865°
E115.285034°		 ← 178.30 m →
31 784 m²		 N 54.282865°
E115.287781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820240020751953 y=0.319736480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820240020751953 × 217)
    floor (0.820240020751953 × 131072)
    floor (107510.5)     		tx = 107510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319736480712891 × 217)
    floor (0.319736480712891 × 131072)
    floor (41908.5)     		ty = 41908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107510 / 41908 ti = "17/107510/41908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107510/41908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107510 ÷ 217
    107510 ÷ 131072     		x = 0.820236206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41908 ÷ 217
    41908 ÷ 131072     		y = 0.319732666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820236206054688 × 2 - 1) × π
    0.640472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01210342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319732666015625 × 2 - 1) × π
    0.36053466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13265306422269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01210342} λ = 2.01210342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13265306422269))-π/2
    2×atan(3.1038803800479)-π/2
    2×1.25911951960029-π/2
    2.51823903920057-1.57079632675     		φ = 0.94744271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01210342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.285034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94744271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.284469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107510 KachelY 41908 2.01210342 0.94744271 115.285034 54.284469
    Oben rechts KachelX + 1 107511 KachelY 41908 2.01215136 0.94744271 115.287781 54.284469
    Unten links KachelX 107510 KachelY + 1 41909 2.01210342 0.94741473 115.285034 54.282865
    Unten rechts KachelX + 1 107511 KachelY + 1 41909 2.01215136 0.94741473 115.287781 54.282865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94744271-0.94741473) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dl = 178.260580000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94744271-0.94741473) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dr = 178.260580000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01210342-2.01215136) × cos(0.94744271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583761324508106 × 6371000     		do = 178.295734521151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01210342-2.01215136) × cos(0.94741473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583784041949889 × 6371000     		du = 178.302673012619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94744271)-sin(0.94741473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583761324508106-0.583784041949889)×R²
    abs(2.01215136-2.01210342)×2.27174417836151e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27174417836151e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27174417836151e-05×40589641000000     		ar = 31783.71947932m²