Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107509 / 41911
↖ ↑ ↗
← N 54.279659°
E115.282288°		 ← 178.28 m → N 54.279659°
E115.285034°		 →
↑
178.32 m
↓
↑
178.32 m
↓
N 54.278055°
E115.282288°		 ← 178.29 m →
31 792 m²		 N 54.278055°
E115.285034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820232391357422 y=0.319759368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820232391357422 × 217)
    floor (0.820232391357422 × 131072)
    floor (107509.5)     		tx = 107509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319759368896484 × 217)
    floor (0.319759368896484 × 131072)
    floor (41911.5)     		ty = 41911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107509 / 41911 ti = "17/107509/41911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107509/41911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107509 ÷ 217
    107509 ÷ 131072     		x = 0.820228576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41911 ÷ 217
    41911 ÷ 131072     		y = 0.319755554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820228576660156 × 2 - 1) × π
    0.640457153320312 × 3.1415926535     		Λ = 2.01205549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319755554199219 × 2 - 1) × π
    0.360488891601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.13250925352383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01205549} λ = 2.01205549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13250925352383))-π/2
    2×atan(3.10343404093621)-π/2
    2×1.25907754158775-π/2
    2.5181550831755-1.57079632675     		φ = 0.94735876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01205549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.282288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94735876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.279659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107509 KachelY 41911 2.01205549 0.94735876 115.282288 54.279659
    Oben rechts KachelX + 1 107510 KachelY 41911 2.01210342 0.94735876 115.285034 54.279659
    Unten links KachelX 107509 KachelY + 1 41912 2.01205549 0.94733077 115.282288 54.278055
    Unten rechts KachelX + 1 107510 KachelY + 1 41912 2.01210342 0.94733077 115.285034 54.278055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94735876-0.94733077) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dl = 178.324289999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94735876-0.94733077) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dr = 178.324289999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01205549-2.01210342) × cos(0.94735876) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583829483581103 × 6371000     		do = 178.279356280286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01205549-2.01210342) × cos(0.94733077) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.58385220777017 × 6371000     		du = 178.28629538479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94735876)-sin(0.94733077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583829483581103-0.58385220777017)×R²
    abs(2.01210342-2.01205549)×2.27241890672358e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27241890672358e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27241890672358e-05×40589641000000     		ar = 31792.1583378775m²