Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107508 / 41905
↖ ↑ ↗
← N 54.289279°
E115.279541°		 ← 178.27 m → N 54.289279°
E115.282288°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
N 54.287675°
E115.279541°		 ← 178.28 m →
31 780 m²		 N 54.287675°
E115.282288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820224761962891 y=0.319713592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820224761962891 × 217)
    floor (0.820224761962891 × 131072)
    floor (107508.5)     		tx = 107508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319713592529297 × 217)
    floor (0.319713592529297 × 131072)
    floor (41905.5)     		ty = 41905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107508 / 41905 ti = "17/107508/41905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107508/41905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107508 ÷ 217
    107508 ÷ 131072     		x = 0.820220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41905 ÷ 217
    41905 ÷ 131072     		y = 0.319709777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820220947265625 × 2 - 1) × π
    0.64044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01200755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319709777832031 × 2 - 1) × π
    0.360580444335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.13279687492155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01200755} λ = 2.01200755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13279687492155))-π/2
    2×atan(3.10432678335255)-π/2
    2×1.25916149271161-π/2
    2.51832298542321-1.57079632675     		φ = 0.94752666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01200755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.279541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94752666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.289279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107508 KachelY 41905 2.01200755 0.94752666 115.279541 54.289279
    Oben rechts KachelX + 1 107509 KachelY 41905 2.01205549 0.94752666 115.282288 54.289279
    Unten links KachelX 107508 KachelY + 1 41906 2.01200755 0.94749868 115.279541 54.287675
    Unten rechts KachelX + 1 107509 KachelY + 1 41906 2.01205549 0.94749868 115.282288 54.287675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94752666-0.94749868) × R
    2.79799999999275e-05 × 6371000     		dl = 178.260579999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94752666-0.94749868) × R
    2.79799999999275e-05 × 6371000     		dr = 178.260579999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01200755-2.01205549) × cos(0.94752666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583693161320991 × 6371000     		do = 178.274915729286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01200755-2.01205549) × cos(0.94749868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58371588013393 × 6371000     		du = 178.28185463954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94752666)-sin(0.94749868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583693161320991-0.58371588013393)×R²
    abs(2.01205549-2.01200755)×2.27188129394706e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27188129394706e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27188129394706e-05×40589641000000     		ar = 31780.0083464012m²