Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107506 / 42515
↖ ↑ ↗
← N 53.299697°
E115.274048°		 ← 182.49 m → N 53.299697°
E115.276794°		 →
↑
182.53 m
↓
↑
182.53 m
↓
N 53.298055°
E115.274048°		 ← 182.50 m →
33 311 m²		 N 53.298055°
E115.276794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820209503173828 y=0.324367523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820209503173828 × 217)
    floor (0.820209503173828 × 131072)
    floor (107506.5)     		tx = 107506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324367523193359 × 217)
    floor (0.324367523193359 × 131072)
    floor (42515.5)     		ty = 42515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107506 / 42515 ti = "17/107506/42515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107506/42515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107506 ÷ 217
    107506 ÷ 131072     		x = 0.820205688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42515 ÷ 217
    42515 ÷ 131072     		y = 0.324363708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820205688476562 × 2 - 1) × π
    0.640411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01191168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324363708496094 × 2 - 1) × π
    0.351272583007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.10355536615331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01191168} λ = 2.01191168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10355536615331))-π/2
    2×atan(3.01486594394246)-π/2
    2×1.25052576525982-π/2
    2.50105153051965-1.57079632675     		φ = 0.93025520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01191168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.274048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93025520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.299697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107506 KachelY 42515 2.01191168 0.93025520 115.274048 53.299697
    Oben rechts KachelX + 1 107507 KachelY 42515 2.01195961 0.93025520 115.276794 53.299697
    Unten links KachelX 107506 KachelY + 1 42516 2.01191168 0.93022655 115.274048 53.298055
    Unten rechts KachelX + 1 107507 KachelY + 1 42516 2.01195961 0.93022655 115.276794 53.298055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93025520-0.93022655) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dl = 182.529149999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93025520-0.93022655) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dr = 182.529149999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01191168-2.01195961) × cos(0.93025520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.597629389413027 × 6371000     		do = 182.493323538934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01191168-2.01195961) × cos(0.93022655) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.597652359949359 × 6371000     		du = 182.500337868539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93025520)-sin(0.93022655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597629389413027-0.597652359949359)×R²
    abs(2.01195961-2.01191168)×2.29705363326005e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29705363326005e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29705363326005e-05×40589641000000     		ar = 33310.9913883053m²