Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107505 / 41903
↖ ↑ ↗
← N 54.292485°
E115.271301°		 ← 178.26 m → N 54.292485°
E115.274048°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
N 54.290882°
E115.271301°		 ← 178.27 m →
31 778 m²		 N 54.290882°
E115.274048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820201873779297 y=0.319698333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820201873779297 × 217)
    floor (0.820201873779297 × 131072)
    floor (107505.5)     		tx = 107505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319698333740234 × 217)
    floor (0.319698333740234 × 131072)
    floor (41903.5)     		ty = 41903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107505 / 41903 ti = "17/107505/41903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107505/41903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107505 ÷ 217
    107505 ÷ 131072     		x = 0.820198059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41903 ÷ 217
    41903 ÷ 131072     		y = 0.319694519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820198059082031 × 2 - 1) × π
    0.640396118164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.01186374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319694519042969 × 2 - 1) × π
    0.360610961914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.13289274872079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01186374} λ = 2.01186374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13289274872079))-π/2
    2×atan(3.10462442122296)-π/2
    2×1.25918947206306-π/2
    2.51837894412612-1.57079632675     		φ = 0.94758262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01186374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.271301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94758262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.292485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107505 KachelY 41903 2.01186374 0.94758262 115.271301 54.292485
    Oben rechts KachelX + 1 107506 KachelY 41903 2.01191168 0.94758262 115.274048 54.292485
    Unten links KachelX 107505 KachelY + 1 41904 2.01186374 0.94755464 115.271301 54.290882
    Unten rechts KachelX + 1 107506 KachelY + 1 41904 2.01191168 0.94755464 115.274048 54.290882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94758262-0.94755464) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dl = 178.260580000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94758262-0.94755464) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dr = 178.260580000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01186374-2.01191168) × cos(0.94758262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583647722324244 × 6371000     		do = 178.26103749008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01186374-2.01191168) × cos(0.94755464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58367044205109 × 6371000     		du = 178.267976679464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94758262)-sin(0.94755464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583647722324244-0.58367044205109)×R²
    abs(2.01191168-2.01186374)×2.27197268455326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27197268455326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27197268455326e-05×40589641000000     		ar = 31777.534428528m²