Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107500 / 42348
↖ ↑ ↗
← N 53.572938°
E115.257569°		 ← 181.32 m → N 53.572938°
E115.260315°		 →
↑
181.32 m
↓
↑
181.32 m
↓
N 53.571307°
E115.257569°		 ← 181.33 m →
32 878 m²		 N 53.571307°
E115.260315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820163726806641 y=0.323093414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820163726806641 × 217)
    floor (0.820163726806641 × 131072)
    floor (107500.5)     		tx = 107500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323093414306641 × 217)
    floor (0.323093414306641 × 131072)
    floor (42348.5)     		ty = 42348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107500 / 42348 ti = "17/107500/42348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107500/42348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107500 ÷ 217
    107500 ÷ 131072     		x = 0.820159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42348 ÷ 217
    42348 ÷ 131072     		y = 0.323089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820159912109375 × 2 - 1) × π
    0.64031982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01162406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323089599609375 × 2 - 1) × π
    0.35382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11156082838986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01162406} λ = 2.01162406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11156082838986))-π/2
    2×atan(3.03909820521609)-π/2
    2×1.25291024527054-π/2
    2.50582049054107-1.57079632675     		φ = 0.93502416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01162406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.257569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93502416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.572938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107500 KachelY 42348 2.01162406 0.93502416 115.257569 53.572938
    Oben rechts KachelX + 1 107501 KachelY 42348 2.01167199 0.93502416 115.260315 53.572938
    Unten links KachelX 107500 KachelY + 1 42349 2.01162406 0.93499570 115.257569 53.571307
    Unten rechts KachelX + 1 107501 KachelY + 1 42349 2.01167199 0.93499570 115.260315 53.571307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93502416-0.93499570) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dl = 181.31866000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93502416-0.93499570) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dr = 181.31866000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01162406-2.01167199) × cos(0.93502416) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593798987087031 × 6371000     		do = 181.323664108951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01162406-2.01167199) × cos(0.93499570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59382188614461 × 6371000     		du = 181.330656611658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93502416)-sin(0.93499570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593798987087031-0.59382188614461)×R²
    abs(2.01167199-2.01162406)×2.28990575789068e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28990575789068e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28990575789068e-05×40589641000000     		ar = 32877.9977404677m²