Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107499 / 41910
↖ ↑ ↗
← N 54.281262°
E115.254822°		 ← 178.31 m → N 54.281262°
E115.257569°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
N 54.279659°
E115.254822°		 ← 178.32 m →
31 786 m²		 N 54.279659°
E115.257569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820156097412109 y=0.319751739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820156097412109 × 217)
    floor (0.820156097412109 × 131072)
    floor (107499.5)     		tx = 107499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319751739501953 × 217)
    floor (0.319751739501953 × 131072)
    floor (41910.5)     		ty = 41910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107499 / 41910 ti = "17/107499/41910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107499/41910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107499 ÷ 217
    107499 ÷ 131072     		x = 0.820152282714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41910 ÷ 217
    41910 ÷ 131072     		y = 0.319747924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820152282714844 × 2 - 1) × π
    0.640304565429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.01157612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319747924804688 × 2 - 1) × π
    0.360504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13255719042345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01157612} λ = 2.01157612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13255719042345))-π/2
    2×atan(3.10358281350812)-π/2
    2×1.25909153480319-π/2
    2.51818306960639-1.57079632675     		φ = 0.94738674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01157612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.254822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94738674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.281262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107499 KachelY 41910 2.01157612 0.94738674 115.254822 54.281262
    Oben rechts KachelX + 1 107500 KachelY 41910 2.01162406 0.94738674 115.257569 54.281262
    Unten links KachelX 107499 KachelY + 1 41911 2.01157612 0.94735876 115.254822 54.279659
    Unten rechts KachelX + 1 107500 KachelY + 1 41911 2.01162406 0.94735876 115.257569 54.279659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94738674-0.94735876) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dl = 178.260580000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94738674-0.94735876) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dr = 178.260580000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01157612-2.01162406) × cos(0.94738674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583806767053566 × 6371000     		do = 178.309613844226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01157612-2.01162406) × cos(0.94735876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583829483581103 × 6371000     		du = 178.316552056459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94738674)-sin(0.94735876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583806767053566-0.583829483581103)×R²
    abs(2.01162406-2.01157612)×2.27165275363816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27165275363816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27165275363816e-05×40589641000000     		ar = 31786.1935905442m²