Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107498 / 41957
↖ ↑ ↗
← N 54.205830°
E115.252075°		 ← 178.64 m → N 54.205830°
E115.254822°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
N 54.204224°
E115.252075°		 ← 178.64 m →
31 901 m²		 N 54.204224°
E115.254822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820148468017578 y=0.320110321044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820148468017578 × 217)
    floor (0.820148468017578 × 131072)
    floor (107498.5)     		tx = 107498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320110321044922 × 217)
    floor (0.320110321044922 × 131072)
    floor (41957.5)     		ty = 41957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107498 / 41957 ti = "17/107498/41957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107498/41957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107498 ÷ 217
    107498 ÷ 131072     		x = 0.820144653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41957 ÷ 217
    41957 ÷ 131072     		y = 0.320106506347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820144653320312 × 2 - 1) × π
    0.640289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01152818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320106506347656 × 2 - 1) × π
    0.359786987304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.1303041561413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01152818} λ = 2.01152818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1303041561413))-π/2
    2×atan(3.09659820626619)-π/2
    2×1.25843326478807-π/2
    2.51686652957615-1.57079632675     		φ = 0.94607020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01152818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.252075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94607020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.205830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107498 KachelY 41957 2.01152818 0.94607020 115.252075 54.205830
    Oben rechts KachelX + 1 107499 KachelY 41957 2.01157612 0.94607020 115.254822 54.205830
    Unten links KachelX 107498 KachelY + 1 41958 2.01152818 0.94604217 115.252075 54.204224
    Unten rechts KachelX + 1 107499 KachelY + 1 41958 2.01157612 0.94604217 115.254822 54.204224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94607020-0.94604217) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dl = 178.579129999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94607020-0.94604217) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dr = 178.579129999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01152818-2.01157612) × cos(0.94607020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584875149931421 × 6371000     		do = 178.635925475298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01152818-2.01157612) × cos(0.94604217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584897885488638 × 6371000     		du = 178.642869499685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94607020)-sin(0.94604217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584875149931421-0.584897885488638)×R²
    abs(2.01157612-2.01152818)×2.27355572177679e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27355572177679e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27355572177679e-05×40589641000000     		ar = 31901.2681891757m²