Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107497 / 41912
↖ ↑ ↗
← N 54.278055°
E115.249328°		 ← 178.32 m → N 54.278055°
E115.252075°		 →
↑
178.32 m
↓
↑
178.32 m
↓
N 54.276451°
E115.249328°		 ← 178.33 m →
31 800 m²		 N 54.276451°
E115.252075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820140838623047 y=0.319766998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820140838623047 × 217)
    floor (0.820140838623047 × 131072)
    floor (107497.5)     		tx = 107497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319766998291016 × 217)
    floor (0.319766998291016 × 131072)
    floor (41912.5)     		ty = 41912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107497 / 41912 ti = "17/107497/41912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107497/41912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107497 ÷ 217
    107497 ÷ 131072     		x = 0.820137023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41912 ÷ 217
    41912 ÷ 131072     		y = 0.31976318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820137023925781 × 2 - 1) × π
    0.640274047851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.01148024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31976318359375 × 2 - 1) × π
    0.3604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13246131662421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01148024} λ = 2.01148024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13246131662421))-π/2
    2×atan(3.10328527549581)-π/2
    2×1.2590635478277-π/2
    2.5181270956554-1.57079632675     		φ = 0.94733077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01148024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.249328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94733077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.278055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107497 KachelY 41912 2.01148024 0.94733077 115.249328 54.278055
    Oben rechts KachelX + 1 107498 KachelY 41912 2.01152818 0.94733077 115.252075 54.278055
    Unten links KachelX 107497 KachelY + 1 41913 2.01148024 0.94730278 115.249328 54.276451
    Unten rechts KachelX + 1 107498 KachelY + 1 41913 2.01152818 0.94730278 115.252075 54.276451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94733077-0.94730278) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dl = 178.324289999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94733077-0.94730278) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dr = 178.324289999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01148024-2.01152818) × cos(0.94733077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58385220777017 × 6371000     		do = 178.323492608721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01148024-2.01152818) × cos(0.94730278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583874931501824 × 6371000     		du = 178.330433021277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94733077)-sin(0.94730278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58385220777017-0.583874931501824)×R²
    abs(2.01152818-2.01148024)×2.27237316541284e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27237316541284e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27237316541284e-05×40589641000000     		ar = 31800.0290337447m²