Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107496 / 48102
↖ ↑ ↗
← N 43.121034°
E115.246582°		 ← 222.89 m → N 43.121034°
E115.249328°		 →
↑
222.92 m
↓
↑
222.92 m
↓
N 43.119029°
E115.246582°		 ← 222.89 m →
49 687 m²		 N 43.119029°
E115.249328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820133209228516 y=0.366992950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820133209228516 × 217)
    floor (0.820133209228516 × 131072)
    floor (107496.5)     		tx = 107496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366992950439453 × 217)
    floor (0.366992950439453 × 131072)
    floor (48102.5)     		ty = 48102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107496 / 48102 ti = "17/107496/48102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107496/48102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107496 ÷ 217
    107496 ÷ 131072     		x = 0.82012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48102 ÷ 217
    48102 ÷ 131072     		y = 0.366989135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82012939453125 × 2 - 1) × π
    0.6402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01143231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366989135742188 × 2 - 1) × π
    0.266021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.835731907976059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01143231} λ = 2.01143231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835731907976059))-π/2
    2×atan(2.30650157755502)-π/2
    2×1.16170017151404-π/2
    2.32340034302808-1.57079632675     		φ = 0.75260402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01143231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75260402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.121034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107496 KachelY 48102 2.01143231 0.75260402 115.246582 43.121034
    Oben rechts KachelX + 1 107497 KachelY 48102 2.01148024 0.75260402 115.249328 43.121034
    Unten links KachelX 107496 KachelY + 1 48103 2.01143231 0.75256903 115.246582 43.119029
    Unten rechts KachelX + 1 107497 KachelY + 1 48103 2.01148024 0.75256903 115.249328 43.119029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75260402-0.75256903) × R
    3.4990000000068e-05 × 6371000     		dl = 222.921290000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75260402-0.75256903) × R
    3.4990000000068e-05 × 6371000     		dr = 222.921290000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01143231-2.01148024) × cos(0.75260402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.729911389155468 × 6371000     		do = 222.88722351277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01143231-2.01148024) × cos(0.75256903) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.729935305835504 × 6371000     		du = 222.894526758737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75260402)-sin(0.75256903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729911389155468-0.729935305835504)×R²
    abs(2.01148024-2.01143231)×2.39166800358737e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39166800358737e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39166800358737e-05×40589641000000     		ar = 49687.1214196828m²