Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107496 / 42364
↖ ↑ ↗
← N 53.546836°
E115.246582°		 ← 181.44 m → N 53.546836°
E115.249328°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
N 53.545204°
E115.246582°		 ← 181.44 m →
32 933 m²		 N 53.545204°
E115.249328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820133209228516 y=0.323215484619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820133209228516 × 217)
    floor (0.820133209228516 × 131072)
    floor (107496.5)     		tx = 107496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323215484619141 × 217)
    floor (0.323215484619141 × 131072)
    floor (42364.5)     		ty = 42364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107496 / 42364 ti = "17/107496/42364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107496/42364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107496 ÷ 217
    107496 ÷ 131072     		x = 0.82012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42364 ÷ 217
    42364 ÷ 131072     		y = 0.323211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82012939453125 × 2 - 1) × π
    0.6402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01143231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323211669921875 × 2 - 1) × π
    0.35357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11079383799594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01143231} λ = 2.01143231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11079383799594))-π/2
    2×atan(3.03676813976964)-π/2
    2×1.25268245593939-π/2
    2.50536491187878-1.57079632675     		φ = 0.93456859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01143231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93456859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.546836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107496 KachelY 42364 2.01143231 0.93456859 115.246582 53.546836
    Oben rechts KachelX + 1 107497 KachelY 42364 2.01148024 0.93456859 115.249328 53.546836
    Unten links KachelX 107496 KachelY + 1 42365 2.01143231 0.93454010 115.246582 53.545204
    Unten rechts KachelX + 1 107497 KachelY + 1 42365 2.01148024 0.93454010 115.249328 53.545204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93456859-0.93454010) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dl = 181.509790000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93456859-0.93454010) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dr = 181.509790000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01143231-2.01148024) × cos(0.93456859) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59416548319245 × 6371000     		do = 181.435578103688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01143231-2.01148024) × cos(0.93454010) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.594188398678368 × 6371000     		du = 181.442575622987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93456859)-sin(0.93454010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59416548319245-0.594188398678368)×R²
    abs(2.01148024-2.01143231)×2.29154859177072e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29154859177072e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29154859177072e-05×40589641000000     		ar = 32932.9687416409m²