Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107496 / 41955
↖ ↑ ↗
← N 54.209042°
E115.246582°		 ← 178.58 m → N 54.209042°
E115.249328°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
N 54.207436°
E115.246582°		 ← 178.59 m →
31 892 m²		 N 54.207436°
E115.249328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820133209228516 y=0.320095062255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820133209228516 × 217)
    floor (0.820133209228516 × 131072)
    floor (107496.5)     		tx = 107496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320095062255859 × 217)
    floor (0.320095062255859 × 131072)
    floor (41955.5)     		ty = 41955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107496 / 41955 ti = "17/107496/41955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107496/41955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107496 ÷ 217
    107496 ÷ 131072     		x = 0.82012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41955 ÷ 217
    41955 ÷ 131072     		y = 0.320091247558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82012939453125 × 2 - 1) × π
    0.6402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01143231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320091247558594 × 2 - 1) × π
    0.359817504882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.13040002994054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01143231} λ = 2.01143231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13040002994054))-π/2
    2×atan(3.09689510313303)-π/2
    2×1.25846130079917-π/2
    2.51692260159835-1.57079632675     		φ = 0.94612627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01143231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94612627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.209042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107496 KachelY 41955 2.01143231 0.94612627 115.246582 54.209042
    Oben rechts KachelX + 1 107497 KachelY 41955 2.01148024 0.94612627 115.249328 54.209042
    Unten links KachelX 107496 KachelY + 1 41956 2.01143231 0.94609824 115.246582 54.207436
    Unten rechts KachelX + 1 107497 KachelY + 1 41956 2.01148024 0.94609824 115.249328 54.207436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94612627-0.94609824) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dl = 178.579130000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94612627-0.94609824) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dr = 178.579130000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01143231-2.01148024) × cos(0.94612627) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.584829669326866 × 6371000     		do = 178.58477502999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01143231-2.01148024) × cos(0.94609824) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.58485240580328 × 6371000     		du = 178.591717886583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94612627)-sin(0.94609824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584829669326866-0.58485240580328)×R²
    abs(2.01148024-2.01143231)×2.27364764144866e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27364764144866e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27364764144866e-05×40589641000000     		ar = 31892.1336830624m²