Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107495 / 48103
↖ ↑ ↗
← N 43.119029°
E115.243835°		 ← 222.94 m → N 43.119029°
E115.246582°		 →
↑
222.99 m
↓
↑
222.99 m
↓
N 43.117024°
E115.243835°		 ← 222.95 m →
49 713 m²		 N 43.117024°
E115.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820125579833984 y=0.367000579833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820125579833984 × 217)
    floor (0.820125579833984 × 131072)
    floor (107495.5)     		tx = 107495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367000579833984 × 217)
    floor (0.367000579833984 × 131072)
    floor (48103.5)     		ty = 48103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107495 / 48103 ti = "17/107495/48103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107495/48103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107495 ÷ 217
    107495 ÷ 131072     		x = 0.820121765136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48103 ÷ 217
    48103 ÷ 131072     		y = 0.366996765136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820121765136719 × 2 - 1) × π
    0.640243530273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.01138437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366996765136719 × 2 - 1) × π
    0.266006469726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.835683971076439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01138437} λ = 2.01138437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835683971076439))-π/2
    2×atan(2.30639101367049)-π/2
    2×1.16168267638285-π/2
    2.32336535276571-1.57079632675     		φ = 0.75256903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01138437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.243835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75256903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.119029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107495 KachelY 48103 2.01138437 0.75256903 115.243835 43.119029
    Oben rechts KachelX + 1 107496 KachelY 48103 2.01143231 0.75256903 115.246582 43.119029
    Unten links KachelX 107495 KachelY + 1 48104 2.01138437 0.75253403 115.243835 43.117024
    Unten rechts KachelX + 1 107496 KachelY + 1 48104 2.01143231 0.75253403 115.246582 43.117024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75256903-0.75253403) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dl = 222.985000000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75256903-0.75253403) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dr = 222.985000000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01138437-2.01143231) × cos(0.75256903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729935305835504 × 6371000     		do = 222.941030936789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01138437-2.01143231) × cos(0.75253403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729959228456787 × 6371000     		du = 222.948337521097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75256903)-sin(0.75253403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729935305835504-0.729959228456787)×R²
    abs(2.01143231-2.01138437)×2.39226212829236e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39226212829236e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39226212829236e-05×40589641000000     		ar = 49713.3204178969m²