Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107494 / 42276
↖ ↑ ↗
← N 53.690201°
E115.241089°		 ← 180.86 m → N 53.690201°
E115.243835°		 →
↑
180.87 m
↓
↑
180.87 m
↓
N 53.688575°
E115.241089°		 ← 180.87 m →
32 713 m²		 N 53.688575°
E115.243835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820117950439453 y=0.322544097900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820117950439453 × 217)
    floor (0.820117950439453 × 131072)
    floor (107494.5)     		tx = 107494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322544097900391 × 217)
    floor (0.322544097900391 × 131072)
    floor (42276.5)     		ty = 42276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107494 / 42276 ti = "17/107494/42276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107494/42276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107494 ÷ 217
    107494 ÷ 131072     		x = 0.820114135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42276 ÷ 217
    42276 ÷ 131072     		y = 0.322540283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820114135742188 × 2 - 1) × π
    0.640228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01133643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322540283203125 × 2 - 1) × π
    0.35491943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11501228516251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01133643} λ = 2.01133643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11501228516251))-π/2
    2×atan(3.04960564385347)-π/2
    2×1.25393355874355-π/2
    2.50786711748711-1.57079632675     		φ = 0.93707079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01133643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.241089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93707079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.690201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107494 KachelY 42276 2.01133643 0.93707079 115.241089 53.690201
    Oben rechts KachelX + 1 107495 KachelY 42276 2.01138437 0.93707079 115.243835 53.690201
    Unten links KachelX 107494 KachelY + 1 42277 2.01133643 0.93704240 115.241089 53.688575
    Unten rechts KachelX + 1 107495 KachelY + 1 42277 2.01138437 0.93704240 115.243835 53.688575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93707079-0.93704240) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dl = 180.872689999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93707079-0.93704240) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dr = 180.872689999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01133643-2.01138437) × cos(0.93707079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592150998642804 × 6371000     		do = 180.858156952099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01133643-2.01138437) × cos(0.93704240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592173875833417 × 6371000     		du = 180.865144234971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93707079)-sin(0.93704240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592150998642804-0.592173875833417)×R²
    abs(2.01138437-2.01133643)×2.2877190612558e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2877190612558e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2877190612558e-05×40589641000000     		ar = 32712.9332627958m²