Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107493 / 41962
↖ ↑ ↗
← N 54.197797°
E115.238342°		 ← 178.63 m → N 54.197797°
E115.241089°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
N 54.196190°
E115.238342°		 ← 178.64 m →
31 912 m²		 N 54.196190°
E115.241089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820110321044922 y=0.320148468017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820110321044922 × 217)
    floor (0.820110321044922 × 131072)
    floor (107493.5)     		tx = 107493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320148468017578 × 217)
    floor (0.320148468017578 × 131072)
    floor (41962.5)     		ty = 41962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107493 / 41962 ti = "17/107493/41962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107493/41962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107493 ÷ 217
    107493 ÷ 131072     		x = 0.820106506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41962 ÷ 217
    41962 ÷ 131072     		y = 0.320144653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820106506347656 × 2 - 1) × π
    0.640213012695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.01128850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320144653320312 × 2 - 1) × π
    0.359710693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1300644716432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01128850} λ = 2.01128850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1300644716432))-π/2
    2×atan(3.0958560886199)-π/2
    2×1.25836316522126-π/2
    2.51672633044251-1.57079632675     		φ = 0.94593000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01128850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.238342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94593000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.197797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107493 KachelY 41962 2.01128850 0.94593000 115.238342 54.197797
    Oben rechts KachelX + 1 107494 KachelY 41962 2.01133643 0.94593000 115.241089 54.197797
    Unten links KachelX 107493 KachelY + 1 41963 2.01128850 0.94590196 115.238342 54.196190
    Unten rechts KachelX + 1 107494 KachelY + 1 41963 2.01133643 0.94590196 115.241089 54.196190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94593000-0.94590196) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dl = 178.642840000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94593000-0.94590196) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dr = 178.642840000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01128850-2.01133643) × cos(0.94593000) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.584988863673967 × 6371000     		do = 178.633386938985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01128850-2.01133643) × cos(0.94590196) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.58501160504272 × 6371000     		du = 178.640331289513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94593000)-sin(0.94590196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584988863673967-0.58501160504272)×R²
    abs(2.01133643-2.01128850)×2.27413687531319e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27413687531319e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27413687531319e-05×40589641000000     		ar = 31912.1958429662m²