Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107491 / 41945
↖ ↑ ↗
← N 54.225102°
E115.232849°		 ← 178.55 m → N 54.225102°
E115.235596°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
N 54.223496°
E115.232849°		 ← 178.56 m →
31 886 m²		 N 54.223496°
E115.235596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820095062255859 y=0.320018768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820095062255859 × 217)
    floor (0.820095062255859 × 131072)
    floor (107491.5)     		tx = 107491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320018768310547 × 217)
    floor (0.320018768310547 × 131072)
    floor (41945.5)     		ty = 41945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107491 / 41945 ti = "17/107491/41945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107491/41945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107491 ÷ 217
    107491 ÷ 131072     		x = 0.820091247558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41945 ÷ 217
    41945 ÷ 131072     		y = 0.320014953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820091247558594 × 2 - 1) × π
    0.640182495117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.01119262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320014953613281 × 2 - 1) × π
    0.359970092773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.13087939893674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01119262} λ = 2.01119262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13087939893674))-π/2
    2×atan(3.09838001451176)-π/2
    2×1.25860144815274-π/2
    2.51720289630548-1.57079632675     		φ = 0.94640657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01119262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.232849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94640657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.225102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107491 KachelY 41945 2.01119262 0.94640657 115.232849 54.225102
    Oben rechts KachelX + 1 107492 KachelY 41945 2.01124056 0.94640657 115.235596 54.225102
    Unten links KachelX 107491 KachelY + 1 41946 2.01119262 0.94637854 115.232849 54.223496
    Unten rechts KachelX + 1 107492 KachelY + 1 41946 2.01124056 0.94637854 115.235596 54.223496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94640657-0.94637854) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dl = 178.579129999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94640657-0.94637854) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dr = 178.579129999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01119262-2.01124056) × cos(0.94640657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584602279293747 × 6371000     		do = 178.552583758862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01119262-2.01124056) × cos(0.94637854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584625020364252 × 6371000     		du = 178.55952946715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94640657)-sin(0.94637854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584602279293747-0.584625020364252)×R²
    abs(2.01124056-2.01119262)×2.27410705054831e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27410705054831e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27410705054831e-05×40589641000000     		ar = 31886.385248263m²