Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107490 / 41964
↖ ↑ ↗
← N 54.194584°
E115.230103°		 ← 178.65 m → N 54.194584°
E115.232849°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
N 54.192976°
E115.230103°		 ← 178.65 m →
31 926 m²		 N 54.192976°
E115.232849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820087432861328 y=0.320163726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820087432861328 × 217)
    floor (0.820087432861328 × 131072)
    floor (107490.5)     		tx = 107490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320163726806641 × 217)
    floor (0.320163726806641 × 131072)
    floor (41964.5)     		ty = 41964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107490 / 41964 ti = "17/107490/41964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107490/41964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107490 ÷ 217
    107490 ÷ 131072     		x = 0.820083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41964 ÷ 217
    41964 ÷ 131072     		y = 0.320159912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820083618164062 × 2 - 1) × π
    0.640167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01114469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320159912109375 × 2 - 1) × π
    0.35968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12996859784396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01114469} λ = 2.01114469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12996859784396))-π/2
    2×atan(3.09555929136255)-π/2
    2×1.25833512157869-π/2
    2.51667024315737-1.57079632675     		φ = 0.94587392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01114469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.230103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94587392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.194584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107490 KachelY 41964 2.01114469 0.94587392 115.230103 54.194584
    Oben rechts KachelX + 1 107491 KachelY 41964 2.01119262 0.94587392 115.232849 54.194584
    Unten links KachelX 107490 KachelY + 1 41965 2.01114469 0.94584587 115.230103 54.192976
    Unten rechts KachelX + 1 107491 KachelY + 1 41965 2.01119262 0.94584587 115.232849 54.192976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94587392-0.94584587) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94587392-0.94584587) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01114469-2.01119262) × cos(0.94587392) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585034345951513 × 6371000     		do = 178.647275499586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01114469-2.01119262) × cos(0.94584587) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585057094510249 × 6371000     		du = 178.654222045661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94587392)-sin(0.94584587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585034345951513-0.585057094510249)×R²
    abs(2.01119262-2.01114469)×2.27485587355192e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27485587355192e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27485587355192e-05×40589641000000     		ar = 31926.0589702653m²