Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10749 / 5628
↖ ↑ ↗
← N 81.521512°
W120.953980°		 ← 90.06 m → N 81.521512°
W120.948486°		 →
↑
90.09 m
↓
↑
90.09 m
↓
N 81.520702°
W120.953980°		 ← 90.07 m →
8 114 m²		 N 81.520702°
W120.948486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164024353027344 y=0.0858840942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164024353027344 × 216)
    floor (0.164024353027344 × 65536)
    floor (10749.5)     		tx = 10749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0858840942382812 × 216)
    floor (0.0858840942382812 × 65536)
    floor (5628.5)     		ty = 5628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10749 / 5628 ti = "16/10749/5628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10749/5628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10749 ÷ 216
    10749 ÷ 65536     		x = 0.164016723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5628 ÷ 216
    5628 ÷ 65536     		y = 0.08587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164016723632812 × 2 - 1) × π
    -0.671966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11104519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08587646484375 × 2 - 1) × π
    0.8282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60201491137665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11104519} λ = -2.11104519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60201491137665))-π/2
    2×atan(13.4908936228047)-π/2
    2×1.49680756204041-π/2
    2.99361512408081-1.57079632675     		φ = 1.42281880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11104519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.953980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42281880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.521512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10749 KachelY 5628 -2.11104519 1.42281880 -120.953980 81.521512
    Oben rechts KachelX + 1 10750 KachelY 5628 -2.11094931 1.42281880 -120.948486 81.521512
    Unten links KachelX 10749 KachelY + 1 5629 -2.11104519 1.42280466 -120.953980 81.520702
    Unten rechts KachelX + 1 10750 KachelY + 1 5629 -2.11094931 1.42280466 -120.948486 81.520702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42281880-1.42280466) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dl = 90.0859399999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42281880-1.42280466) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dr = 90.0859399999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11104519--2.11094931) × cos(1.42281880) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.147438065195192 × 6371000     		do = 90.0627603327603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11104519--2.11094931) × cos(1.42280466) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.147452050648494 × 6371000     		du = 90.0713033676085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42281880)-sin(1.42280466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147438065195192-0.147452050648494)×R²
    abs(-2.11094931--2.11104519)×1.39854533024175e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.39854533024175e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.39854533024175e-05×40589641000000     		ar = 8113.7732273115m²