Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10749 / 11773
↖ ↑ ↗
← N 45.112300°
W 61.907959°		 ← 862.13 m → N 45.112300°
W 61.896973°		 →
↑
862.19 m
↓
↑
862.19 m
↓
N 45.104546°
W 61.907959°		 ← 862.25 m →
743 372 m²		 N 45.104546°
W 61.896973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.328048706054688 y=0.359298706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.328048706054688 × 215)
    floor (0.328048706054688 × 32768)
    floor (10749.5)     		tx = 10749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359298706054688 × 215)
    floor (0.359298706054688 × 32768)
    floor (11773.5)     		ty = 11773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10749 / 11773 ti = "15/10749/11773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10749/11773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10749 ÷ 215
    10749 ÷ 32768     		x = 0.328033447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11773 ÷ 215
    11773 ÷ 32768     		y = 0.359283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.328033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.34393310546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.08049772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359283447265625 × 2 - 1) × π
    0.28143310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.884148176592316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.08049772} λ = -1.08049772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.884148176592316))-π/2
    2×atan(2.42092131547739)-π/2
    2×1.17907724835495-π/2
    2.3581544967099-1.57079632675     		φ = 0.78735817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.08049772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.907959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78735817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.112300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10749 KachelY 11773 -1.08049772 0.78735817 -61.907959 45.112300
    Oben rechts KachelX + 1 10750 KachelY 11773 -1.08030597 0.78735817 -61.896973 45.112300
    Unten links KachelX 10749 KachelY + 1 11774 -1.08049772 0.78722284 -61.907959 45.104546
    Unten rechts KachelX + 1 10750 KachelY + 1 11774 -1.08030597 0.78722284 -61.896973 45.104546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78735817-0.78722284) × R
    0.000135329999999989 × 6371000     		dl = 862.18742999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78735817-0.78722284) × R
    0.000135329999999989 × 6371000     		dr = 862.18742999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.08049772--1.08030597) × cos(0.78735817) × R
    0.000191750000000157 × 0.705719489894665 × 6371000     		do = 862.134628346007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.08049772--1.08030597) × cos(0.78722284) × R
    0.000191750000000157 × 0.705815363567238 × 6371000     		du = 862.251751387464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78735817)-sin(0.78722284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705719489894665-0.705815363567238)×R²
    abs(-1.08030597--1.08049772)×9.58736725730214e-05×R²
    0.000191750000000157×9.58736725730214e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.58736725730214e-05×40589641000000     		ar = 743372.131669366m²