Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107489 / 41937
↖ ↑ ↗
← N 54.237946°
E115.227356°		 ← 178.50 m → N 54.237946°
E115.230103°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
N 54.236340°
E115.227356°		 ← 178.50 m →
31 865 m²		 N 54.236340°
E115.230103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820079803466797 y=0.319957733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820079803466797 × 217)
    floor (0.820079803466797 × 131072)
    floor (107489.5)     		tx = 107489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319957733154297 × 217)
    floor (0.319957733154297 × 131072)
    floor (41937.5)     		ty = 41937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107489 / 41937 ti = "17/107489/41937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107489/41937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107489 ÷ 217
    107489 ÷ 131072     		x = 0.820075988769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41937 ÷ 217
    41937 ÷ 131072     		y = 0.319953918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820075988769531 × 2 - 1) × π
    0.640151977539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.01109675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319953918457031 × 2 - 1) × π
    0.360092163085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.13126289413371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01109675} λ = 2.01109675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13126289413371))-π/2
    2×atan(3.09956845623196)-π/2
    2×1.25871352679817-π/2
    2.51742705359633-1.57079632675     		φ = 0.94663073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01109675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.227356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94663073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.237946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107489 KachelY 41937 2.01109675 0.94663073 115.227356 54.237946
    Oben rechts KachelX + 1 107490 KachelY 41937 2.01114469 0.94663073 115.230103 54.237946
    Unten links KachelX 107489 KachelY + 1 41938 2.01109675 0.94660271 115.227356 54.236340
    Unten rechts KachelX + 1 107490 KachelY + 1 41938 2.01114469 0.94660271 115.230103 54.236340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94663073-0.94660271) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dl = 178.515420000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94663073-0.94660271) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dr = 178.515420000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01109675-2.01114469) × cos(0.94663073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584420399112098 × 6371000     		do = 178.497032869791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01109675-2.01114469) × cos(0.94660271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584443135740933 × 6371000     		du = 178.503977221478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94663073)-sin(0.94660271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584420399112098-0.584443135740933)×R²
    abs(2.01114469-2.01109675)×2.27366288347852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27366288347852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27366288347852e-05×40589641000000     		ar = 31865.0926306133m²