Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107486 / 42309
↖ ↑ ↗
← N 53.636496°
E115.219116°		 ← 181.09 m → N 53.636496°
E115.221863°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
N 53.634868°
E115.219116°		 ← 181.10 m →
32 789 m²		 N 53.634868°
E115.221863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820056915283203 y=0.322795867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820056915283203 × 217)
    floor (0.820056915283203 × 131072)
    floor (107486.5)     		tx = 107486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322795867919922 × 217)
    floor (0.322795867919922 × 131072)
    floor (42309.5)     		ty = 42309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107486 / 42309 ti = "17/107486/42309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107486/42309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107486 ÷ 217
    107486 ÷ 131072     		x = 0.820053100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42309 ÷ 217
    42309 ÷ 131072     		y = 0.322792053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820053100585938 × 2 - 1) × π
    0.640106201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01095294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322792053222656 × 2 - 1) × π
    0.354415893554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.11343036747504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01095294} λ = 2.01095294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11343036747504))-π/2
    2×atan(3.04478523249791)-π/2
    2×1.25346489309058-π/2
    2.50692978618115-1.57079632675     		φ = 0.93613346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01095294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.219116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93613346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.636496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107486 KachelY 42309 2.01095294 0.93613346 115.219116 53.636496
    Oben rechts KachelX + 1 107487 KachelY 42309 2.01100088 0.93613346 115.221863 53.636496
    Unten links KachelX 107486 KachelY + 1 42310 2.01095294 0.93610504 115.219116 53.634868
    Unten rechts KachelX + 1 107487 KachelY + 1 42310 2.01100088 0.93610504 115.221863 53.634868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93613346-0.93610504) × R
    2.8419999999918e-05 × 6371000     		dl = 181.063819999477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93613346-0.93610504) × R
    2.8419999999918e-05 × 6371000     		dr = 181.063819999477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01095294-2.01100088) × cos(0.93613346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592906064249663 × 6371000     		do = 181.088773423822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01095294-2.01100088) × cos(0.93610504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592928949829956 × 6371000     		du = 181.095763269118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93613346)-sin(0.93610504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592906064249663-0.592928949829956)×R²
    abs(2.01100088-2.01095294)×2.28855802931749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28855802931749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28855802931749e-05×40589641000000     		ar = 32789.2578813389m²