Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107484 / 100567
↖ ↑ ↗
← S 68.870449°
E115.213623°		 ← 110.08 m → S 68.870449°
E115.216370°		 →
↑
110.09 m
↓
↑
110.09 m
↓
S 68.871439°
E115.213623°		 ← 110.07 m →
12 118 m²		 S 68.871439°
E115.216370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820041656494141 y=0.767269134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820041656494141 × 217)
    floor (0.820041656494141 × 131072)
    floor (107484.5)     		tx = 107484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767269134521484 × 217)
    floor (0.767269134521484 × 131072)
    floor (100567.5)     		ty = 100567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107484 / 100567 ti = "17/107484/100567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107484/100567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107484 ÷ 217
    107484 ÷ 131072     		x = 0.820037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100567 ÷ 217
    100567 ÷ 131072     		y = 0.767265319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820037841796875 × 2 - 1) × π
    0.64007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01085707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767265319824219 × 2 - 1) × π
    -0.534530639648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.67927753059019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01085707} λ = 2.01085707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67927753059019))-π/2
    2×atan(0.186508674187671)-π/2
    2×0.184390120156538-π/2
    0.368780240313075-1.57079632675     		φ = -1.20201609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01085707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.213623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20201609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.870449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107484 KachelY 100567 2.01085707 -1.20201609 115.213623 -68.870449
    Oben rechts KachelX + 1 107485 KachelY 100567 2.01090500 -1.20201609 115.216370 -68.870449
    Unten links KachelX 107484 KachelY + 1 100568 2.01085707 -1.20203337 115.213623 -68.871439
    Unten rechts KachelX + 1 107485 KachelY + 1 100568 2.01090500 -1.20203337 115.216370 -68.871439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20201609--1.20203337) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dl = 110.090880000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20201609--1.20203337) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dr = 110.090880000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01085707-2.01090500) × cos(-1.20201609) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360477944645962 × 6371000     		do = 110.076276947386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01085707-2.01090500) × cos(-1.20203337) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360461826365646 × 6371000     		du = 110.071355036589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20201609)-sin(-1.20203337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360477944645962-0.360461826365646)×R²
    abs(2.01090500-2.01085707)×1.61182803158355e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61182803158355e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61182803158355e-05×40589641000000     		ar = 12118.1232677364m²