Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107483 / 42313
↖ ↑ ↗
← N 53.629982°
E115.210877°		 ← 181.12 m → N 53.629982°
E115.213623°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
N 53.628353°
E115.210877°		 ← 181.12 m →
32 794 m²		 N 53.628353°
E115.213623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820034027099609 y=0.322826385498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820034027099609 × 217)
    floor (0.820034027099609 × 131072)
    floor (107483.5)     		tx = 107483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322826385498047 × 217)
    floor (0.322826385498047 × 131072)
    floor (42313.5)     		ty = 42313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107483 / 42313 ti = "17/107483/42313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107483/42313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107483 ÷ 217
    107483 ÷ 131072     		x = 0.820030212402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42313 ÷ 217
    42313 ÷ 131072     		y = 0.322822570800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820030212402344 × 2 - 1) × π
    0.640060424804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.01080913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322822570800781 × 2 - 1) × π
    0.354354858398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.11323861987656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01080913} λ = 2.01080913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11323861987656))-π/2
    2×atan(3.04420145821213)-π/2
    2×1.25340804454483-π/2
    2.50681608908966-1.57079632675     		φ = 0.93601976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01080913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.210877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93601976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.629982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107483 KachelY 42313 2.01080913 0.93601976 115.210877 53.629982
    Oben rechts KachelX + 1 107484 KachelY 42313 2.01085707 0.93601976 115.213623 53.629982
    Unten links KachelX 107483 KachelY + 1 42314 2.01080913 0.93599134 115.210877 53.628353
    Unten rechts KachelX + 1 107484 KachelY + 1 42314 2.01085707 0.93599134 115.213623 53.628353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93601976-0.93599134) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93601976-0.93599134) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01080913-2.01085707) × cos(0.93601976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592997619801407 × 6371000     		do = 181.116736845965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01080913-2.01085707) × cos(0.93599134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593020503465626 × 6371000     		du = 181.123726106043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93601976)-sin(0.93599134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592997619801407-0.593020503465626)×R²
    abs(2.01085707-2.01080913)×2.28836642189867e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28836642189867e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28836642189867e-05×40589641000000     		ar = 32794.3209927573m²