Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107482 / 100573
↖ ↑ ↗
← S 68.876388°
E115.208130°		 ← 110.07 m → S 68.876388°
E115.210877°		 →
↑
110.09 m
↓
↑
110.09 m
↓
S 68.877378°
E115.208130°		 ← 110.06 m →
12 117 m²		 S 68.877378°
E115.210877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820026397705078 y=0.767314910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820026397705078 × 217)
    floor (0.820026397705078 × 131072)
    floor (107482.5)     		tx = 107482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767314910888672 × 217)
    floor (0.767314910888672 × 131072)
    floor (100573.5)     		ty = 100573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107482 / 100573 ti = "17/107482/100573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107482/100573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107482 ÷ 217
    107482 ÷ 131072     		x = 0.820022583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100573 ÷ 217
    100573 ÷ 131072     		y = 0.767311096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820022583007812 × 2 - 1) × π
    0.640045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01076119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767311096191406 × 2 - 1) × π
    -0.534622192382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.67956515198791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01076119} λ = 2.01076119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67956515198791))-π/2
    2×atan(0.186455038015939)-π/2
    2×0.184338286524392-π/2
    0.368676573048784-1.57079632675     		φ = -1.20211975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01076119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.208130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20211975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.876388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107482 KachelY 100573 2.01076119 -1.20211975 115.208130 -68.876388
    Oben rechts KachelX + 1 107483 KachelY 100573 2.01080913 -1.20211975 115.210877 -68.876388
    Unten links KachelX 107482 KachelY + 1 100574 2.01076119 -1.20213703 115.208130 -68.877378
    Unten rechts KachelX + 1 107483 KachelY + 1 100574 2.01080913 -1.20213703 115.210877 -68.877378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20211975--1.20213703) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dl = 110.090880000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20211975--1.20213703) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dr = 110.090880000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01076119-2.01080913) × cos(-1.20211975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360381252005766 × 6371000     		do = 110.069710575915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01076119-2.01080913) × cos(-1.20213703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360365133079847 × 6371000     		du = 110.064787441039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20211975)-sin(-1.20213703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360381252005766-0.360365133079847)×R²
    abs(2.01080913-2.01076119)×1.61189259190175e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61189259190175e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61189259190175e-05×40589641000000     		ar = 12117.4003028534m²