Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107481 / 100574
↖ ↑ ↗
← S 68.877378°
E115.205383°		 ← 110.06 m → S 68.877378°
E115.208130°		 →
↑
110.03 m
↓
↑
110.03 m
↓
S 68.878368°
E115.205383°		 ← 110.06 m →
12 110 m²		 S 68.878368°
E115.208130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820018768310547 y=0.767322540283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820018768310547 × 217)
    floor (0.820018768310547 × 131072)
    floor (107481.5)     		tx = 107481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767322540283203 × 217)
    floor (0.767322540283203 × 131072)
    floor (100574.5)     		ty = 100574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107481 / 100574 ti = "17/107481/100574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107481/100574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107481 ÷ 217
    107481 ÷ 131072     		x = 0.820014953613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100574 ÷ 217
    100574 ÷ 131072     		y = 0.767318725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820014953613281 × 2 - 1) × π
    0.640029907226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.01071325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767318725585938 × 2 - 1) × π
    -0.534637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67961308888753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01071325} λ = 2.01071325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67961308888753))-π/2
    2×atan(0.186446100153726)-π/2
    2×0.184329648937645-π/2
    0.36865929787529-1.57079632675     		φ = -1.20213703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01071325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.205383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20213703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.877378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107481 KachelY 100574 2.01071325 -1.20213703 115.205383 -68.877378
    Oben rechts KachelX + 1 107482 KachelY 100574 2.01076119 -1.20213703 115.208130 -68.877378
    Unten links KachelX 107481 KachelY + 1 100575 2.01071325 -1.20215430 115.205383 -68.878368
    Unten rechts KachelX + 1 107482 KachelY + 1 100575 2.01076119 -1.20215430 115.208130 -68.878368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20213703--1.20215430) × R
    1.72699999998471e-05 × 6371000     		dl = 110.027169999026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20213703--1.20215430) × R
    1.72699999998471e-05 × 6371000     		dr = 110.027169999026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01071325-2.01076119) × cos(-1.20213703) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.360365133079847 × 6371000     		do = 110.064787442058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01071325-2.01076119) × cos(-1.20215430) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.360349023374499 × 6371000     		du = 110.059867123381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20213703)-sin(-1.20215430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360365133079847-0.360349023374499)×R²
    abs(2.01076119-2.01071325)×1.61097053478221e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.61097053478221e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.61097053478221e-05×40589641000000     		ar = 12109.8463946687m²