Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107479 / 100575
↖ ↑ ↗
← S 68.878368°
E115.199890°		 ← 110.06 m → S 68.878368°
E115.202637°		 →
↑
110.09 m
↓
↑
110.09 m
↓
S 68.879358°
E115.199890°		 ← 110.05 m →
12 116 m²		 S 68.879358°
E115.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820003509521484 y=0.767330169677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820003509521484 × 217)
    floor (0.820003509521484 × 131072)
    floor (107479.5)     		tx = 107479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767330169677734 × 217)
    floor (0.767330169677734 × 131072)
    floor (100575.5)     		ty = 100575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107479 / 100575 ti = "17/107479/100575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107479/100575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107479 ÷ 217
    107479 ÷ 131072     		x = 0.819999694824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100575 ÷ 217
    100575 ÷ 131072     		y = 0.767326354980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819999694824219 × 2 - 1) × π
    0.639999389648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.01061738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767326354980469 × 2 - 1) × π
    -0.534652709960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.67966102578715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01061738} λ = 2.01061738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67966102578715))-π/2
    2×atan(0.186437162719957)-π/2
    2×0.184321011737128-π/2
    0.368642023474256-1.57079632675     		φ = -1.20215430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01061738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.199890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20215430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.878368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107479 KachelY 100575 2.01061738 -1.20215430 115.199890 -68.878368
    Oben rechts KachelX + 1 107480 KachelY 100575 2.01066532 -1.20215430 115.202637 -68.878368
    Unten links KachelX 107479 KachelY + 1 100576 2.01061738 -1.20217158 115.199890 -68.879358
    Unten rechts KachelX + 1 107480 KachelY + 1 100576 2.01066532 -1.20217158 115.202637 -68.879358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20215430--1.20217158) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dl = 110.090880000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20215430--1.20217158) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dr = 110.090880000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01061738-2.01066532) × cos(-1.20215430) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.360349023374499 × 6371000     		do = 110.059867123381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01061738-2.01066532) × cos(-1.20217158) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.360332904233438 × 6371000     		du = 110.054943922794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20215430)-sin(-1.20217158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360349023374499-0.360332904233438)×R²
    abs(2.01066532-2.01061738)×1.61191410608108e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.61191410608108e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.61191410608108e-05×40589641000000     		ar = 12116.3166248457m²