Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107475 / 42537
↖ ↑ ↗
← N 53.263570°
E115.188904°		 ← 182.69 m → N 53.263570°
E115.191650°		 →
↑
182.66 m
↓
↑
182.66 m
↓
N 53.261927°
E115.188904°		 ← 182.69 m →
33 369 m²		 N 53.261927°
E115.191650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819972991943359 y=0.324535369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819972991943359 × 217)
    floor (0.819972991943359 × 131072)
    floor (107475.5)     		tx = 107475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324535369873047 × 217)
    floor (0.324535369873047 × 131072)
    floor (42537.5)     		ty = 42537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107475 / 42537 ti = "17/107475/42537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107475/42537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107475 ÷ 217
    107475 ÷ 131072     		x = 0.819969177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42537 ÷ 217
    42537 ÷ 131072     		y = 0.324531555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819969177246094 × 2 - 1) × π
    0.639938354492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.01042563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324531555175781 × 2 - 1) × π
    0.350936889648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.10250075436167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01042563} λ = 2.01042563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10250075436167))-π/2
    2×atan(3.01168810675458)-π/2
    2×1.25021049851223-π/2
    2.50042099702447-1.57079632675     		φ = 0.92962467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01042563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.188904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92962467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.263570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107475 KachelY 42537 2.01042563 0.92962467 115.188904 53.263570
    Oben rechts KachelX + 1 107476 KachelY 42537 2.01047357 0.92962467 115.191650 53.263570
    Unten links KachelX 107475 KachelY + 1 42538 2.01042563 0.92959600 115.188904 53.261927
    Unten rechts KachelX + 1 107476 KachelY + 1 42538 2.01047357 0.92959600 115.191650 53.261927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92962467-0.92959600) × R
    2.86700000000639e-05 × 6371000     		dl = 182.656570000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92962467-0.92959600) × R
    2.86700000000639e-05 × 6371000     		dr = 182.656570000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01042563-2.01047357) × cos(0.92962467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59813481218343 × 6371000     		do = 182.685767630765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01042563-2.01047357) × cos(0.92959600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598157787946571 × 6371000     		du = 182.692785020225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92962467)-sin(0.92959600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59813481218343-0.598157787946571)×R²
    abs(2.01047357-2.01042563)×2.29757631404759e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29757631404759e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29757631404759e-05×40589641000000     		ar = 33369.3965917133m²