Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107472 / 100572
↖ ↑ ↗
← S 68.875399°
E115.180664°		 ← 110.07 m → S 68.875399°
E115.183411°		 →
↑
110.03 m
↓
↑
110.03 m
↓
S 68.876388°
E115.180664°		 ← 110.07 m →
12 111 m²		 S 68.876388°
E115.183411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819950103759766 y=0.767307281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819950103759766 × 217)
    floor (0.819950103759766 × 131072)
    floor (107472.5)     		tx = 107472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767307281494141 × 217)
    floor (0.767307281494141 × 131072)
    floor (100572.5)     		ty = 100572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107472 / 100572 ti = "17/107472/100572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107472/100572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107472 ÷ 217
    107472 ÷ 131072     		x = 0.8199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100572 ÷ 217
    100572 ÷ 131072     		y = 0.767303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8199462890625 × 2 - 1) × π
    0.639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01028182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.53460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67951721508829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01028182} λ = 2.01028182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67951721508829))-π/2
    2×atan(0.186463976306615)-π/2
    2×0.184346924497385-π/2
    0.368693848994769-1.57079632675     		φ = -1.20210248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01028182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20210248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.875399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107472 KachelY 100572 2.01028182 -1.20210248 115.180664 -68.875399
    Oben rechts KachelX + 1 107473 KachelY 100572 2.01032976 -1.20210248 115.183411 -68.875399
    Unten links KachelX 107472 KachelY + 1 100573 2.01028182 -1.20211975 115.180664 -68.876388
    Unten rechts KachelX + 1 107473 KachelY + 1 100573 2.01032976 -1.20211975 115.183411 -68.876388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20210248--1.20211975) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dl = 110.027170000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20210248--1.20211975) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dr = 110.027170000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01028182-2.01032976) × cos(-1.20210248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360397361496087 × 6371000     		do = 110.074630828918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01028182-2.01032976) × cos(-1.20211975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360381252005766 × 6371000     		du = 110.069710575915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20210248)-sin(-1.20211975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360397361496087-0.360381252005766)×R²
    abs(2.01032976-2.01028182)×1.61094903211034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61094903211034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61094903211034e-05×40589641000000     		ar = 12110.9294383987m²