Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107471 / 100524
↖ ↑ ↗
← S 68.827834°
E115.177918°		 ← 110.29 m → S 68.827834°
E115.180664°		 →
↑
110.35 m
↓
↑
110.35 m
↓
S 68.828826°
E115.177918°		 ← 110.28 m →
12 170 m²		 S 68.828826°
E115.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819942474365234 y=0.766941070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819942474365234 × 217)
    floor (0.819942474365234 × 131072)
    floor (107471.5)     		tx = 107471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766941070556641 × 217)
    floor (0.766941070556641 × 131072)
    floor (100524.5)     		ty = 100524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107471 / 100524 ti = "17/107471/100524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107471/100524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107471 ÷ 217
    107471 ÷ 131072     		x = 0.819938659667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100524 ÷ 217
    100524 ÷ 131072     		y = 0.766937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819938659667969 × 2 - 1) × π
    0.639877319335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.01023389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766937255859375 × 2 - 1) × π
    -0.53387451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67721624390652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01023389} λ = 2.01023389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67721624390652))-π/2
    2×atan(0.186893518535162)-π/2
    2×0.184762001713298-π/2
    0.369524003426597-1.57079632675     		φ = -1.20127232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01023389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.177918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20127232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.827834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107471 KachelY 100524 2.01023389 -1.20127232 115.177918 -68.827834
    Oben rechts KachelX + 1 107472 KachelY 100524 2.01028182 -1.20127232 115.180664 -68.827834
    Unten links KachelX 107471 KachelY + 1 100525 2.01023389 -1.20128964 115.177918 -68.828826
    Unten rechts KachelX + 1 107472 KachelY + 1 100525 2.01028182 -1.20128964 115.180664 -68.828826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20127232--1.20128964) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dl = 110.345719999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20127232--1.20128964) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dr = 110.345719999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01023389-2.01028182) × cos(-1.20127232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361171609534761 × 6371000     		do = 110.288095865969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01023389-2.01028182) × cos(-1.20128964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361155458591562 × 6371000     		du = 110.283163981168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20127232)-sin(-1.20128964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361171609534761-0.361155458591562)×R²
    abs(2.01028182-2.01023389)×1.61509431990114e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61509431990114e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61509431990114e-05×40589641000000     		ar = 12169.5472399456m²