Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107470 / 100542
↖ ↑ ↗
← S 68.845683°
E115.175171°		 ← 110.22 m → S 68.845683°
E115.177918°		 →
↑
110.22 m
↓
↑
110.22 m
↓
S 68.846674°
E115.175171°		 ← 110.22 m →
12 148 m²		 S 68.846674°
E115.177918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819934844970703 y=0.767078399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819934844970703 × 217)
    floor (0.819934844970703 × 131072)
    floor (107470.5)     		tx = 107470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767078399658203 × 217)
    floor (0.767078399658203 × 131072)
    floor (100542.5)     		ty = 100542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107470 / 100542 ti = "17/107470/100542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107470/100542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107470 ÷ 217
    107470 ÷ 131072     		x = 0.819931030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100542 ÷ 217
    100542 ÷ 131072     		y = 0.767074584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819931030273438 × 2 - 1) × π
    0.639862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01018595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767074584960938 × 2 - 1) × π
    -0.534149169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67807910809969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01018595} λ = 2.01018595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67807910809969))-π/2
    2×atan(0.186732324364424)-π/2
    2×0.184606243364017-π/2
    0.369212486728033-1.57079632675     		φ = -1.20158384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01018595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.175171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20158384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.845683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107470 KachelY 100542 2.01018595 -1.20158384 115.175171 -68.845683
    Oben rechts KachelX + 1 107471 KachelY 100542 2.01023389 -1.20158384 115.177918 -68.845683
    Unten links KachelX 107470 KachelY + 1 100543 2.01018595 -1.20160114 115.175171 -68.846674
    Unten rechts KachelX + 1 107471 KachelY + 1 100543 2.01023389 -1.20160114 115.177918 -68.846674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20158384--1.20160114) × R
    1.72999999998869e-05 × 6371000     		dl = 110.218299999279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20158384--1.20160114) × R
    1.72999999998869e-05 × 6371000     		dr = 110.218299999279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01018595-2.01023389) × cos(-1.20158384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360881099811919 × 6371000     		do = 110.222376961997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01018595-2.01023389) × cos(-1.20160114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360864965573198 × 6371000     		du = 110.217449150196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20158384)-sin(-1.20160114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360881099811919-0.360864965573198)×R²
    abs(2.01023389-2.01018595)×1.61342387209884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61342387209884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61342387209884e-05×40589641000000     		ar = 12148.2514433086m²