Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10747 / 5625
↖ ↑ ↗
← N 81.523942°
W120.964966°		 ← 90.03 m → N 81.523942°
W120.959473°		 →
↑
90.02 m
↓
↑
90.02 m
↓
N 81.523132°
W120.964966°		 ← 90.04 m →
8 105 m²		 N 81.523132°
W120.959473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163993835449219 y=0.0858383178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163993835449219 × 216)
    floor (0.163993835449219 × 65536)
    floor (10747.5)     		tx = 10747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0858383178710938 × 216)
    floor (0.0858383178710938 × 65536)
    floor (5625.5)     		ty = 5625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10747 / 5625 ti = "16/10747/5625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10747/5625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10747 ÷ 216
    10747 ÷ 65536     		x = 0.163986206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5625 ÷ 216
    5625 ÷ 65536     		y = 0.0858306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163986206054688 × 2 - 1) × π
    -0.672027587890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11123693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0858306884765625 × 2 - 1) × π
    0.828338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60230253277437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11123693} λ = -2.11123693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60230253277437))-π/2
    2×atan(13.4947744505628)-π/2
    2×1.49682876219635-π/2
    2.9936575243927-1.57079632675     		φ = 1.42286120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11123693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.964966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42286120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.523942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10747 KachelY 5625 -2.11123693 1.42286120 -120.964966 81.523942
    Oben rechts KachelX + 1 10748 KachelY 5625 -2.11114106 1.42286120 -120.959473 81.523942
    Unten links KachelX 10747 KachelY + 1 5626 -2.11123693 1.42284707 -120.964966 81.523132
    Unten rechts KachelX + 1 10748 KachelY + 1 5626 -2.11114106 1.42284707 -120.959473 81.523132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42286120-1.42284707) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dl = 90.0222300003606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42286120-1.42284707) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dr = 90.0222300003606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11123693--2.11114106) × cos(1.42286120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147396128439974 × 6371000     		do = 90.0277525964834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11123693--2.11114106) × cos(1.42284707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147410104090908 × 6371000     		du = 90.0362887531517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42286120)-sin(1.42284707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147396128439974-0.147410104090908)×R²
    abs(-2.11114106--2.11123693)×1.3975650933945e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3975650933945e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3975650933945e-05×40589641000000     		ar = 8104.88327269032m²