Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107469 / 42439
↖ ↑ ↗
← N 53.424264°
E115.172424°		 ← 182 m → N 53.424264°
E115.175171°		 →
↑
181.96 m
↓
↑
181.96 m
↓
N 53.422628°
E115.172424°		 ← 182.01 m →
33 116 m²		 N 53.422628°
E115.175171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819927215576172 y=0.323787689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819927215576172 × 217)
    floor (0.819927215576172 × 131072)
    floor (107469.5)     		tx = 107469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323787689208984 × 217)
    floor (0.323787689208984 × 131072)
    floor (42439.5)     		ty = 42439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107469 / 42439 ti = "17/107469/42439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107469/42439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107469 ÷ 217
    107469 ÷ 131072     		x = 0.819923400878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42439 ÷ 217
    42439 ÷ 131072     		y = 0.323783874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819923400878906 × 2 - 1) × π
    0.639846801757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.01013801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323783874511719 × 2 - 1) × π
    0.352432250976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.10719857052444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01013801} λ = 2.01013801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10719857052444))-π/2
    2×atan(3.02586974911227)-π/2
    2×1.25161281897175-π/2
    2.50322563794349-1.57079632675     		φ = 0.93242931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01013801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.172424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93242931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.424264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107469 KachelY 42439 2.01013801 0.93242931 115.172424 53.424264
    Oben rechts KachelX + 1 107470 KachelY 42439 2.01018595 0.93242931 115.175171 53.424264
    Unten links KachelX 107469 KachelY + 1 42440 2.01013801 0.93240075 115.172424 53.422628
    Unten rechts KachelX + 1 107470 KachelY + 1 42440 2.01018595 0.93240075 115.175171 53.422628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93242931-0.93240075) × R
    2.85599999999553e-05 × 6371000     		dl = 181.955759999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93242931-0.93240075) × R
    2.85599999999553e-05 × 6371000     		dr = 181.955759999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01013801-2.01018595) × cos(0.93242931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595884836792311 × 6371000     		do = 181.998567231951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01013801-2.01018595) × cos(0.93240075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595907772225575 × 6371000     		du = 182.005572303628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93242931)-sin(0.93240075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595884836792311-0.595907772225575)×R²
    abs(2.01018595-2.01013801)×2.29354332637044e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29354332637044e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29354332637044e-05×40589641000000     		ar = 33116.3249284494m²