Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107468 / 100541
↖ ↑ ↗
← S 68.844692°
E115.169677°		 ← 110.23 m → S 68.844692°
E115.172424°		 →
↑
110.22 m
↓
↑
110.22 m
↓
S 68.845683°
E115.169677°		 ← 110.22 m →
12 149 m²		 S 68.845683°
E115.172424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819919586181641 y=0.767070770263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819919586181641 × 217)
    floor (0.819919586181641 × 131072)
    floor (107468.5)     		tx = 107468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767070770263672 × 217)
    floor (0.767070770263672 × 131072)
    floor (100541.5)     		ty = 100541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107468 / 100541 ti = "17/107468/100541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107468/100541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107468 ÷ 217
    107468 ÷ 131072     		x = 0.819915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100541 ÷ 217
    100541 ÷ 131072     		y = 0.767066955566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819915771484375 × 2 - 1) × π
    0.63983154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01009007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767066955566406 × 2 - 1) × π
    -0.534133911132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.67803117120007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01009007} λ = 2.01009007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67803117120007))-π/2
    2×atan(0.186741275947667)-π/2
    2×0.184614893317896-π/2
    0.369229786635792-1.57079632675     		φ = -1.20156654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01009007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.169677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20156654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.844692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107468 KachelY 100541 2.01009007 -1.20156654 115.169677 -68.844692
    Oben rechts KachelX + 1 107469 KachelY 100541 2.01013801 -1.20156654 115.172424 -68.844692
    Unten links KachelX 107468 KachelY + 1 100542 2.01009007 -1.20158384 115.169677 -68.845683
    Unten rechts KachelX + 1 107469 KachelY + 1 100542 2.01013801 -1.20158384 115.172424 -68.845683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20156654--1.20158384) × R
    1.73000000001089e-05 × 6371000     		dl = 110.218300000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20156654--1.20158384) × R
    1.73000000001089e-05 × 6371000     		dr = 110.218300000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01009007-2.01013801) × cos(-1.20156654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360897233942633 × 6371000     		do = 110.227304740809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01009007-2.01013801) × cos(-1.20158384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360881099811919 × 6371000     		du = 110.222376961997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20156654)-sin(-1.20158384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360897233942633-0.360881099811919)×R²
    abs(2.01013801-2.01009007)×1.61341307130525e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61341307130525e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61341307130525e-05×40589641000000     		ar = 12148.7945769564m²